00
дней
/
00
часов
/
00
минут
/
00
секунд

Разработки уроков: "Приложения определенного интеграла"

Разделы: Математика


Путь, пройденный телом

Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т.е. , то для того чтобы найти путь, пройденный телом за время от t1 до t2 разделим промежуток этого времени на n равных и очень малых частей . В каждой из этих частей скорость можно приближенно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда путь, пройденный этим телом, будет приблизительно равен сумме:

Если функция непрерывна, то

Итак:

Упражнения для работы на уроке.

1. Скорость движения меняется по закону (м/с). Найдите длину пути, пройденного телом за третью минуту его движения.

Решение.

2. Скорость движения тела меняется по закону (см/с). Найдите путь, пройденный телом за 4 с от начала движения.

Решение.

(см).

3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону (м/с). Найдите наибольшую высоту подъема.

Решение. Найдем время, за которое тело, поднималось вверх:

(м).

4. Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки, если его скорость изменилась по закону (м/с).

Решение. Найдем время движения тела: (c).

Значит:

(м).

Работа силы.

Пусть на тело, движущееся по прямой ОХ, действует сила F, которая меняется в зависимости от пройденного пути, т.е. Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от a до b, разделим этот отрезок на n равных и очень малых частей В каждой из этих частей можно приближенно считать силу, равную ее значению в конце этого промежутка. Тогда работа, совершенная этой силой на участке от a до b,будет приблизительно равна сумме:

Если функция непрерывна, то

Итак:

  1. Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?
  2. Решение. По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е.: F=Rx.

    Из условия задачи R= и, следовательно,

    Значит:

  3. Сила в 60 Н достаточна, чтобы растянуть пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины 14 см. Какую работу надо совершить, чтобы ее растянуть до 20 см?

Решение. R = и, следовательно,

Растянуть пружину надо на 0,06 (м). Отсюда

Энергия заряженного конденсатора.

Пусть конденсатор электроемкостью С включается в цепь с напряжением U0. Требуется найти энергию заряженного конденсатора.

Заряд конденсатора будет функцией напряжения: q=CU, следовательно, величина заряда меняется от q=0 до q0=CU0. Разобьем заряд на n равных порций q и найдем работу по зарядке конденсатора. Приближено она равна сумме работ, совершаемых при перемещении в электрическом поле каждой порции заряда:

Отсюда

Энергия заряженного конденсатора равна работе по зарядке конденсатора:

1. Найдите энергию конденсатора емкостью С=200 (мкФ), если напряжение на обкладках равно U0=1200 (В).

Решение.

200 мкФ= Напряжение на конденсаторе в процессе зарядки:

Конечный заряд:

Энергия заряженного конденсатора: 

Задача. Сила тока в цепи с конденсатором меняется по закону где амплитуда тока

Найдите заряд, накапливающийся на пластинах конденсатора с начального момента до момента времени а) ; б) Объясните полученный результат.

Решение. По определению, сила тока есть производная заряда по времени. Чтобы найти заряд, нужно найти интеграл :

а) ;
б)

Конденсатор первую четверть периода заряжается, вторую четверть периода разряжается, и к концу полупериода заряд равен 0.

Задача. Из шахты глубиной м надо поднять клеть весом Р=104 Н, которая висит на канате, намотанном на барабан. Вычислите работу, необходимую для поднятия клети, если вес одного погонного метра каната Р=20 Н.

Решение. Найдем работу по поднятию клети (Дж). Работа по поднятию каната пропорциональна весу каната, т. е.



или (Дж).

Значит, полная работа будет 106+105=11 • 105 (Дж.)

Задача. Рессора прогибается под нагрузкой 1,5-104 Н на 1 см. Какую работу надо затратить для деформации рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации).

Решение. F=Rx, где х — величина деформации. При х=0,01 м имеем: R =

Отсюда:

Задача. Два электрических заряда е1= +30 К и е2= +40 К находятся на расстоянии 0,2 м друг от друга. Вычислите работу силы отталкивания зарядов, если заряд e1 закреплен, а заряд е2 удалился под действием силы отталкивания на 0,5 м.

Решение. По закону Кулона

Отсюда:

Задача. В цилиндрическом сосуде находится воздух нормального давления ( ), который расширяется изотермически (при постоянной температуре). Определите работу, совершаемую силой Р давления газа на поршень, если начальное положение поршня х0=0,06 м, а конечное, x1=0,2 м.

Решение. . По закону Бойля — Мариотта

pV=p0 V0(,=const, где р 0 и V0 — начальное давление и объем поршня в положении х0.

Отсюда: Значит:

Зная, что где d – диаметр поршня, получаем:

Упражнения для домашней работы.

1. Скорость движении тела определяется законом (см/с).
Найдите длину пути, пройденного телом за 4 с.

2. Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения
до остановки, если его скорость меняется по закону (см/с).

3. Вычислите работу, производимую при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 20 Н.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

а) y= 4х—х2 и осью абсцисс;
б) y=(x—2)2 и y=х.

5. Найдите объем тела, получающегося от вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

а) у=х2+1; x=0; x=1; y = 0;
б) ;x=4; y=0.