Идеи гуманитаризации — на каждый урок математики!

  • Яковлева Татьяна Петровна, доцент кафедры математики и физики, ФГБОУ ВПО "Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга", г. Петропавловск-Камчатский, Камчатский край

Разделы: Математика, Внеклассная работа


Гуманитаризация как духовная культура предполагает обогащение учебных предметов общечеловеческими проблемами, ценностями, а также требует изменения принципов взаимодействия гуманитарных, естественных, технических дисциплин, освобождение их от назидательности и схематизма, выявление в них духовности.

Суть гуманитаризации математического образования заключается в том, чтобы “культура как некая целостность, как гармония знания, творческого действия, чувства и общения” (Е.Н.Шиянов) [5], проникала в само содержание математики. Гуманитаризация - “живая вода” знания (Ю.В.Сенько), предполагающая сопричастность познающего этому знанию [4]. Не случайно подчеркивал Я.А.Коменский необходимость приобретать знания не только из книг, “но из неба и земли, из дубов и буков, то есть знали и изучали самые вещи”, а не чужие наблюдения [2].

Важно так же отметить, что гуманитарное знание всегда персонализированное, ценностно-ориентированное, диалогичное, конкретное знание. Это подтверждает мысль Н.А.Бердяева о том, что гуманитарность выступает как средство осознания множественности, “выпадения” в эту множественность, ее “схватывания” умом и сердцем; пребывания в ней с сохранением индивидуальности, умением “пропускать через себя миры, оставаясь самим собой” [1]. Следовательно, только личностно значимые гуманитарные знания обеспечивают подлинный процесс гуманитаризации образования.

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что гуманитаризация призвана создать условия, побуждающие школьника к активной деятельности и обеспечение его участия в ней. А потому, гуманитарный аспект при обучении математике способствует приобщению школьников к духовной культуре, творческой деятельности, вооружает их методами научного поиска, среди которых особую роль играют эвристические приемы и методы научного познания.

Гуманитарная направленность расширяет содержание математического образования. Она не только повышает интерес к предмету, как это принято считать, но и развивает в учащихся личность, активизирует их природные способности, создает условия для саморазвития.

Предлагаем урок из раздела “Сложение натуральных чисел” в 5 классе, где можно использовать гуманитарный компонент и полностью посвятить решению задач одним из способов нахождения суммы первых n-натуральных чисел. Если нет возможности провести такой урок, то применить этот материал можно в системе занятий математического кружка или в других формах внеклассной работы.

В ходе урока будет предложено четыре задачи (одна из них в стихах), сценка и две домашние задачи. Все они рассматриваются с применением наглядности, которая играет большую роль в обучении пятиклассников. Наглядность используется, как для лучшего восприятия условия задач, так и для динамики их решения. Условия задач подталкивают учащихся к поиску нового способа решения, который должен быть рационален, нежели последовательное сложение.

Тема урока: Сложение первых n натуральных чисел.

Цели урока: развитие вычислительных навыков, развитие творческих способностей, развитие нестандартного математического мышления, развитие способностей самостоятельного поиска путей решения задач, воспитание учащихся на примере личности известного математика, повышение интереса к математике.

Ход урока.

1. Домино

Задача. Не прибегая к последовательному сложению, сосчитать, сколько очков на всех десяти косточках домино.

Рис. 1

Решение:

а). Приходим к необходимости вычислить сумму  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

б). Образуем пары чисел, которые нужно сложить:  1 и 10, 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7, 5 и 6.

в) Сумма очков в каждой паре равна 11, а таких пар пять, находим 11• 5=55.

Рис. 2

Ответ: 55.

2. Совет мудреца

Рис. 3

Задача очень не проста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Давным – давно один мудрец
Сказал, что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.
Пять первых связок изучи,
Найдёшь к решению ключи!

1+100=?
2+99=?
3+98=?
4+97=?
5+96=?
Ответ: 5050.

Замечание. Эту задачу учащиеся решают самостоятельно, так как учитель ставит перед собой цель: проверить уяснили ли дети, что равноотстоящие числа от начала и конца в последовательности первых n натуральных чисел дают в сумме один и тот же результат. На доске или плакате написано стихотворение “Совет мудреца”, которое закрыто. Сначала открывается первое четверостишье. Учащиеся решают поставленную проблему. Прошло какое-то время и ответа нет, тогда выясняется, что нужно найти сумму 1+2+3+4+5+…+96+97+98+99+100. Но как не прибегать к последовательному сложению? Если учащиеся и после этого ответ не дадут, то учитель открывает подсказку – “Совет мудреца”, но только второе четверостишье. Если снова ответа нет, то открывается оставшаяся часть стихотворения.

Перед “Советом мудреца” на основе нижеизложенного текста идет сценка, которую под руководством учителя разыгрывают 4-5 учащихся класса. Она без слов, но о том, как один из учеников положил на стол учителя решение задачи буквально после последних записей условия на доске: 1+2+3+4+5+…+96+97+98+99+100=? Содержание этой импровизации подсказывает текст, который будет озвучен после решения задачи “Совет мудреца”.

3. Учись учиться.

Замечание. Другой вариант работы может быть следующим: после разбора предыдущей задачи, учитель спрашивает: кто из учащихся знает этого мудреца? (Ответ: К.Ф. Гаусс). А затем школьникам сообщается о том, как К.Ф. Гаусс, учась в третьем классе, решил рассмотренную задачу [3].

Величайший немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) часто ставится на третье место в ряду математиков мирового значения после Архимеда, Ньютона.

Он в раннем возрасте проявил необыкновенные способности к изучению арифметики. Карл начал учиться в народной школе с семи лет. В этом типе учебных заведений два первых года обучения почти полностью отводились на чтение и письмо. И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не выделялся.

Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе арифметике уделяли основное внимание. Учитель по имени Бюттнер на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натуральных чисел от одного до ста.

Нервно заскрипели на аспидных досках грифели учеников. Их всех, за исключением одного, пугала нависшая угроза почувствовать на собственном теле сильные удары хлыста учителя. Ведь многие из них хорошо знали по личному опыту, что учитель не только хлещет за ошибки, но и за отставание от товарищей. Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгновенно решить поставленную задачу.

По установленному в классе порядку, решившим задачу первым, клал первым и свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель проговорил последние слова формулировки задачи. Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным.

Наставник Гаусса даже не допускал мысли, что на столь поспешно положенной доске может оказаться правильное решение задачи. Но Карл оставался совершенно спокоен. Он был уверен в правильности своего ответа.

Долго сидел маленький Гаусс, ожидая окончания работы своих товарищей. Очень много прошло времени, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но, в конце концов, доски учеников последовательно легли друг на друга. Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, которые были сделаны первыми.

Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма простым и оригинальным. В решении Карла ярко проявилась его математическая зоркость. С одного взгляда на запись задания 1+2+3+…+98+99+100, он заметил, что сумма каждой пары слагаемых, которые одинаково отстоят от концов записанного выражения, равна 101 (1+100, 2+99, 3+98,…, 50+51). А таких пар, рассуждал он, в два раза меньше, чем слагаемых, т.е. 50. Выходит, что вся искомая сумма равна 101 • 50=5050.

Способности К.Гаусса в области счета всегда удивляли людей, которым доводилось с ним встречаться. В развитии этих способностей очень важную роль сыграли целеустремленность, трудолюбие и тщательность выполнения каждой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений Карл Гаусс всегда соблюдал образцовый порядок. Каждую цифру он писал четко, каждое число занимало надлежащее ему место. Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные способы проверки.

4. Бой часов

Задача. Часы бьют каждый час и каждые полчаса. Сколько ударов мы услышим на протяжение двенадцати часов?

Рис. 5

Решение:

а). Получасовых ударов мы услышим 12.
б). Целых 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =13 • 6=7.
в). Всего 78+12=90.

Ответ: 90 ударов.

5. Чертово колесо

Задача. Числами от 1 до 19 пронумеруйте восемнадцать кабин и центр карусели “Чертово колесо”. Нужно, чтобы сумма трех чисел, лежащих на одной прямой равнялась 30.

Рис. 6

Замечание. При анализе условия задачи ясно, что цифра, которая будет поставлена в центр, является одним из слагаемых в сумме трех, дающих всегда 30. Тогда сумма двух других должна давать одно и тоже число. Эта задача сложнее предыдущей, так как в ней не нужно находить непосредственно сумму первых n натуральных чисел, а применить подмеченное свойство в рассуждениях и получить ответ на поставленный вопрос.

Решение:

а). Расположим данные числа по порядку   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

б). При составление пар 1и 19, 2 и 18, 3 и 17, и т.д., видим, что числу 10 пары нет, следовательно, его нужно поместить в центр, а пары расположить по кабинкам – напротив друг другу.

Ответ: смотри.

Рис.7

6. Домашнее задание

Задача 1. Журнал состоит из 16 вложенных друг в друга двойных листов. На каком двойном листе сумма чисел, обозначающих номера станиц, наибольшая?

Рис. 8

Решение:

а). Номера страниц идут от 1 до 64. Страницы на двойных листах нумеруются так:

1-й – 1, 2, 63, 64;
2-й – 3, 4, 61, 62;
………………..;
16-й – 31, 32, 33, 34.

б). Так как в последовательности, которую дают номера страниц двойного листа, суммы чисел, равноотстоящих от концов, одинаковы

(1+64, 2+63 – 1-й лист;
3+62, 4+61 – 2-ой лист;
………………………..;
31+34, 32+33 – 16-й лист),

а именно 65, то сумма чисел на любом двойном листе (65+65=130) одна и та же. Значит, нельзя указать двойного листа, у которого сумма чисел, обозначающая номера страниц наибольшая.

Ответ: такого двойного листа в журнале нет.

Задача 2. Можно ли циферблат часов разделить на 6 частей так, чтобы в каждой части находилось по два числа, причем суммы этих двух чисел в каждой их шести частей были бы равны между собой?

Рис. 8

Решение:

а) Сумма всех чисел, обозначенных на циферблате, равна 78, т.е. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78.
б) А так как нам нужно циферблат разделить на 6 частей, то получаем 78 : 6 = 13. Число 13 дают пары слагаемых, равноотстоящих от начала и конца в сумме (1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, и т.д.). Таких пар шесть.

Ответ: Циферблат можно разделить на 6 равных частей

Рис. 10

7. Итог урока

Применение различных нестандартных методов, форм, приемов при обучении математике будет приносить учащимся удовлетворение, радость и пользу. Бытует мнение, что уроки такого характера, отвлекают учащихся от учебной деятельности. Мы считаем наоборот, правильно подобранные задачи, каждая из которых имеет свое определенное место на уроке, будут способствовать активизации мыслительной деятельности, воспитанию личности ребенка.

Поэтому, основным направлением развития школы сегодня является поворот обучения к человеку, его индивидуальным особенностям. Как мы знаем, не все дети одаренные в математическом смысле. Путей достижения комфортности в обучении математике существует немало. Одним из главных можно считать гуманитаризацию математического образования.

Данный урок дает возможность ученику не воспользоваться готовыми приемами, а учит “добывать” их, учит думать. Такие знания надолго остаются в памяти ребенка, а в дальнейшем сыграют важную роль в повседневной жизни, в овладении профессией.

Список литературы:

1. Бердяев Н.А. Самопознание: опыт философской автобиографии. – М.: Мысль, 1990. – 320 с.
2. Коменский Я.А. Великая дидактика. /В кн.: Хрестоматия по истории зарубежной педагогики. – М.: Просвещение, 1981. – С. 80 -162.
3. Минковский В.Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1966. – 120с.
4. Сенько Ю.С. Гуманитарные основы педагогического образования. – М.: Академия, 2000. – 240 с.
5. Шиянов Е.Н. Теоретические основы гуманизации педагогического образования. Дис. …д-ра пед. наук. – М., 1991. – 400 с.

13.10.2003