Уравнения, содержащие переменную под знаком «антье»

Искушение научиться решать нестандартные задачи (и не только математические) всегда велико. А неумение их решать, прежде всего, связано с чувством неуверенности в собственных силах. На самом деле для решения нестандартных задач применяются стандартные методы и приемы. В данной работе рассмотрены уравнения, содержащие целую часть числа, для решения которых достаточно знаний в объеме школьной программы, составлен алгоритм их решения и сделана попытка систематизации по способам решения.

Целой частью действительного числа x (или функцией “антье”) называется наибольшее целое число n, не превосходящее x.

Целая часть числа x обозначается символом или (реже) символом Е (Х). Читается так: “целая часть х” или “антье x”.

Например, =2, =-3.

Из определения “антье x” следует, что

+1, или 0<1,т.е. x=+, где 0<1.

Алгоритм решения уравнений, содержащих целую часть.

I. Рассмотреть уравнение, отметить его особенности, привести к виду

[f(x)] =g(х) или [f(х)] = [g(х)].

II. Для уравнения вида: [f(х)]= g(х).

1. Применить замену: g(х) = t, где tZ.
2. Найти зависимость х (t).
З. Подставить х(t) в исходное уравнение.
4. Решить неравенство 0 f (t) - t < 1, учитывая, что t Z.
5. Найти х (t).
6. Записать ответ.

III.

1. Замена [х] = х – {х} сводит уравнение к рациональному, решение которого является решением исходного уравнения.
2. Возможны следующие способы решения:
а) Замена [х] = х -{х}. Найти корни получившегося уравнения способом перебора.
б) Построить график уравнения у = g(х) для значений х, удовлетворяющих условию g(х) f(х) < g(х)+1
Найти по графику значения х (корни уравнения), удовлетворяющие неравенству.
в) Построить графики функций у₁= [f(х)] и у₂ = g(х).

Найти уравнения (чаще количество корней) по графику.

IV. Для уравнения вида [f(х)]=[g(х)] возможны следующие способы решения:

а)

1.Применить замену [f(х)]= t, тогда [g(х)] = t, где tZ.
2. Решить систему неравенств  учитывая, что tZ
.
3. Найти х, подставив значение t в систему неравенств из пункта 2.
4. Записать ответ

б)

1. Построить графики уравнений у₁=[f(х)] и у₂=[g(х)].
2. Найти общие точки графиков.
3. Записать ответ.

в)

1. Составить и решить неравенство -1<f(х) - g(х) < 1 (по свойству функции “антье”).
2. Построить графики функций у₁ = f(х), у₂= g(х) для значений х, удовлетворяющих неравенству из пункта 1.
3. Определить границы значений х, при которых целые части функций
у₁ = f(х), у₂= g(х) равны.
4. Записать ответ.

1. Уравнения вида [f(х)]=g (х)

Пример:

Пусть , где t Выразим x: 16x=11t-16, x =.

Тогда уравнение принимает вид:

, ; ; 0<1

2

т.к. t то t₁=3, t₂=4, t₃=5, t₄=6, t₅=7. Найдем x, получим ответ.

Ответ: x₁₌1 , x₂₌1_, x₃₌2, x₄₌3 _, x₅₌3

II. Уравнения вида [f(x)] = [g(x)]

Пример: . Пусть t, тогда

t , t, (1) , (2)

Решение отсутствует, если промежуток (2) “правее” промежутка (1)

; 2t, t

Решение отсутствует, если промежуток (2) “левее” промежутка (1)

; 2t, t ,

Значит, решение существует при. Т.к. t , то t₁=1, t₂=2, t₃=3, t₄ =4 и тогда из неравенства (1) и (2) получаем:

t₁=1, 2 0 тогда 2
t₂=2, 3,5 2,5 тогда 3,5
t₃=3, 5, 5, тогда 5
t₄=4, 6,5, 7,5 тогда 7,5

Ответ: 2, 3,5 7,5.

III. Уравнения, решаемые способом перебора.

Пример: , x

Т.к. x- то получаем уравнение или 25x²=, но 0<1, значит,

0x²<1

Т.к. x, то 25x²>0 при любых x. Получаем 25x²<1, x² <,

-<x<

Выбираем решение перебором:

1) -<x<0, , тогда исходное уравнение принимает вид: , откуда

25x² –x-1=0, Д=101

x_1,2 =; x= не удовлетворяет условию -<x<0

является корнем уравнения

0

Получаем уравнение:

; 25x²=x, но т.к. x, то x=- корень данного уравнения

является корнем исходного уравнения

Ответ: 2 корня x=; x=

IV. Уравнения, сводящиеся к решению рациональных уравнений.

Пример:

Из уравнения следует, что (x+1)Z, значит, xZ.Тогда (3x²-x)- целое, поэтому .Поэтому И уравнение принимает вид:

3x²-x=x+1, откуда 3x²-2x-1=0 и x₁=1, x₂=.Но xZ,значит, x= не является решением уравнения.

Ответ: x=1

Пример: = Построим графики функций: y= и y= (рис. 1)

По графику (рис.3) видим общие точки графиков.

Пример: =

-1<, -1<<1;

Построим графики функций при 1, y= y=

Определим границы значений x

Подставим y=1 в y=, тогда x=2, верно

y=2 в y=, тогда x=2,5; неверно, значит 2<2,5

2) y=2 в y=, x=3,5; верно

у=4 в y=, x=6,5; неверно, значит 3,5<6,5

y=4 в y=, x=7,5 y=5 в y=, x=8 проверяем, получим 7,5<8

Ответ: 2<2,5, 3,5<6,5, 7,5x<8

V. Способ решения, объединяющий аналитические и графические приёмы.

Пример :x²+3x=x²+0,5

По определению функции “антье” данное уравнение равносильно двойному неравенству:

x²+ x²+3x<x²+ (1)

Решим неравенство:

1) 4x²-6x+1, 4x²-6x+1=0, Д=36-16=20 x_1,2=; x_1,2=

2) 4x²-6x+3>0 , 4x²-6x+3=0 , Д=36-48=-12, Д<0 x- любое

Итак, решением неравенства (1) является:

Построим в этом промежутке параболу y=x²+рис.6.

Пределы, в которых изменяются значения функции, определяются ординатами точек пересечения параболы с прямыми x=. При x= y= тогда

В этих пределах два целых значения y: y₁=1, y₂=2.

Им соответствуют x₁=, x₂=.Это и есть решения данного уравнения.

VI. Построение графиков элементарных функций и функций вида y = [f(x)].

Пример 8.x³-, x³=. Тогда x³=, отсюда следует, что x³

Построим графики функций y=x³ и y=

По графику (рис.8) видим, что единственное решение при -2

Ответ: x=

Литература

1. А. Мерлин, Н. Мерлина Нестандартные задачи по математике в школьном курсе.– М: Математика №39, 2000.
2. Семёнов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики. 9-11 классы. – Кемерово: Обл. ИУУ, 1988
3. В.К. Смышляев Практикум по решению задач школьной математики.– М: “ Просвещение”, 1978
4. Д.О. Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М. Яглов Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра.– М: “Наука”,1976