Урок геометрии в 7-м классе по теме: "Медиана, биссектриса, высота"

Разделы: Математика


Цели урока.

  1. Введение новых понятий высоты, медианы и биссектрисы треугольника.
  2. Развитие логического мышления учащихся.
  3. Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.
  4. Воспитание отношений взаимопомощи и сотрудничества между учащимися в процессе познавательной деятельности.

Ход урока и примерная дозировка по времени.

  1. Организационный момент.
  2. Сообщение темы, постановка цели и задач урока.
    Воспроизведение опорных знаний.
    5 минут.
  3. Объяснение нового материала и его закрепление в задачах.
    33 минуты.
  4. Контроль усвоения учащимися нового материала.
    5 минут.
  5. Подведение итогов урока.
    2 минуты.

Оборудование и наглядность урока.

  1. Рисунок 1.
  2. Модели треугольников, изготовленные из плотного цветного картона, с закреплёнными в вершинах цветными тесёмками (для каждого ученика и учителя).
  3. Чертёж прямоугольного треугольника с изображением 3-х его высот, которые пересекаются в вершине прямого угла.
  4. Магнитофон, кассета с записью песни “Когда я стану кошкой” (Музыка Фадеева М., слова Секачёвой И.) для проведения физминутки.
  5. Весёлые рисунки геометрических зверят: биссектриса – крыса, медиана – обезьяна, высота похожа на кота.
  6. У каждого ученика тетрадь с печатной основой “Геометрия – 7. Проверочные работы с элементами тестирования”. Альхова З.Н. Издательство “Лицей”, 2000 г.
  7. Портреты Архимеда и Л. Эйлера.
  8. На каждой парте 3 треугольника из цветного картона с изображением на них высот, медиан, биссектрис (аппликация).
  9. Физическая карта Америки.

I. Сообщение темы урока и постановка задач урока.

Какую геометрическую фигуру изобразила Коптилова Рита на своём весёлом рисунке? (Треугольник). Рис. 1.

Рисунок 1

А что называется треугольником? (Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и соединённых попарно отрезками).

Сколько у него элементов? (6) Назовите элементы треугольника. (Три стороны и три угла).

Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? (Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида).

А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Зовётся он треугольник,
И с ним хлопот не оберётся школьник!

Тема сегодняшнего урока: “Медиана, биссектриса и высота треугольника”.

Преодолеть хлопоты – трудности, связанные с новыми понятиями – медиана, биссектриса и высота треугольника – нам сегодня помогут три мои ассистентки: Емельянова Катя, Грязнова Маша и Гамаюнова Оля (одноклассницы, подготовленные учителем заранее).

II. Объяснение нового материала.

1. Медиана.

Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны ВС – точку М.

Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ=МС. Рис. 2.

Рисунок 2

Соедините точку М с вершиной В. Отрезок ВМ называется медианой треугольника.

Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Сколько вершин у треугольника? (3).

Сколько у него сторон? (3).

Сколько медиан можно провести в треугольнике?(3).

“Проведите” три медианы на моделях треугольников. (Ассистентки контролируют правильность выполнения задания, помогают в случае необходимости).

Какое свойство медиан вы заметили?

В любом треугольнике все медианы пересекаются в одной точке.

Эта точка называется центром тяжести треугольника. [1].

№ 114 (стр. 37) [4] - у доски.

Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. Рис. 3.

Рисунок 3

Дано:

треугольникАВС, треугольник А1В1С1,
АС=А1С1,
АМ=МС,
А1М11С1.

Доказать:

ВМ=В1М1.

Доказательство:

Рисунок 12

2. Высота.

Запись на доске: ВН перпендикулярно АС, Нпринадлежит АС. Рис. 4.

Рисунок 4

С помощью чертёжного угольника из вершины В треугольника АВС проведём перпендикуляр ВН к прямой АС. Он называется высотой треугольника.

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Сколько высот имеет треугольник? (3).

“Постройте” все три высоты на модели вашего треугольника. (Ассистенты проверяют).Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да).

У некоторых из вас модели прямоугольных треугольников. Где пересеклись их высоты? (В вершине прямого угла).

Учащимся показывается ответ на рисунке (плакат на доске). Рис. 5.

Рисунок 5

№ 103 (стр. 36) [4] – у доски.

Начертите треугольник АВС, у которого угол В – тупой. С помощью чертёжного угольника проведите его высоты.

Решение.

ВН1перпендикулярно АС, АН2перпендикулярно ВС, СН3 перпендикулярно АВ. Рис. 6.

Рисунок 6

Вывод. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Эта точка называется ортоцентром. [1]

Физминутка.

(Её проводит Емельянова Катя в образе кошки под запись песни “Когда я стану кошкой”).

Для физминутки Катя не зря выбрала образ кошки. Он поможет нам в запоминании нового понятия – высота.

Катя (первая ассистентка).

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом. [2] Рис. 7.

Рисунок 7

(Стихи иллюстрируются весёлым рисунком).

Конечно, геометрия – наука серьёзная, и учить её надо серьёзно и вдумчиво. Но и забавные стихи и весёлые “геометрические” зверята помогают учению.

Ольга (вторая ассистентка).

Медиана-обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины,
Где находится сейчас. [2] Рис. 8.

Рисунок 8

Маша (третья ассистентка).

Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам
И делит угол пополам. Рис. 9.

Рисунок 9

(Строки сопровождаются показом рисунков).

3. Биссектриса.

Вспомните определение биссектрисы угла.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Запись на доске: угол АВК = угол СВК

К принадлежит АС. Рис. 10.

Рисунок 10

Постройте биссектрису ВК угла В с помощью транспортира. Она пересечёт отрезок АС в точке К. Отрезок ВК называется биссектрисой угла В треугольника АВС.

Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с точкой противоположной стороны треугольника.

Покажите все три биссектрисы на вашей модели треугольника. (Контроль со стороны учителя и ассистенток).

Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Тест – 6, В – 1 (стр. 22). [3]

№ 5 (с комментированием). Рис. 11.

Рисунок 11

Дано:

треугольник АВK,
АС – биссектриса угла А.

Доказать:

треугольникАВС=треугольник АКС.

Доказательство:

Рисунок 13

III. Закрепление.

1. Тест – 6, В –1 (стр. 21) [3] – с комментированием.

№ 1, 2.

1. Заполните пропуски в формулировках элементов треугольника и свойств геометрических фигур.

а) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
б) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом единственный.

2. Верны ли следующие утверждения? (В случае “нет” напишите верный ответ).

а) В любом треугольнике можно провести три медианы. (Да).
б) Точка пересечения высот любого треугольника лежит внутри треугольника. (Не всегда).
в) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (Да).

2.   Работа в парах.

На каждой парте лежат три треугольника, разносторонние, разных цветов. На одном из них изображены три медианы, на другом – высоты, на третьем – биссектрисы.

  1. Покажите треугольник с изображением высот. ( Фиолетовые и красные).
  2. Поднимите треугольник, на котором изображены медианы. (Синие, жёлтые и оранжевые).
  3. Покажите треугольник с изображением биссектрис. (Зелёные, чёрные).

(Учащиеся поднимают треугольники).

Центр тяжести треугольника, его ортоцентр и точка пересечения биссектрис треугольника называются (особыми) замечательными точками треугольника.

Замечательные точки есть у треугольника.
Точка первая – она
Чувством гордости полна:
Медианы в ней пересекаются,
Центром тяжести та точка называется.
Ортоцентр – вторая точка,
Архимед её открыл,
Все высоты в ней встречаются,
Удивив учёный мир.
Третья точка – тоже важная
Биссектрисы всех углов,
Бросив вызов свой отважный,
В ней “сошлись”, не тратя слов.
Эйлер точки все заметил,
Свойства новые открыл, -
Так на радость школьникам
Возникла новая ветвь математики -
Геометрия треугольника.

Тригонометрию вы будете изучать в старших классах.

С какими новыми геометрическими понятиями вы сегодня познакомились? (Медиана, биссектриса, высота).

IV. Домашнее задание. Стр. 33- 34, № 101, 102, 106.

V. Выставление оценок и их комментирование.

Литература.

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7 – 8 классы. М., Просвещение, 1985 г.
  2. Народное образование. № 9 – 10, 1993 г. “Ребятам о зверятах”. Елизарова С.
  3. Проверочные работы с элементами тестирования по геометрии. 7 класс. Альхова З.Н., Саратов, Лицей, 2000 г.
  4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 – 9. М., Просвещение, 2003 г.

19.11.2003