Учебный проект по теме: "Тригонометрические уравнения с конечным числом решений"

Разделы: Математика


В школьном курсе “ Тригонометрии” мы рассматриваем различные способы решения тригонометрических уравнений. В результате решения получается ответ, записанный по формуле корней тригонометрического уравнения. Число решений бесконечно. Большинство школьников записывают ответ автоматически, не задумываясь над целочисленным параметром, входящим в эти формулы. Смысл его позволяют осознать уравнения, имеющие конечное число корней, но таких уравнений в школьном курсе содержится недостаточно. Чтобы успешно справиться с ними, необходимо научиться рассуждать, приобрести некоторый опыт решения. Решение этих уравнений вызывают затруднения у школьников, а между тем они всё чаще встречаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы, поэтому эта проблема актуальна для учащихся. Для её решения мы воспользовались методом учебного проекта.

Цель проекта: устранить некоторое противоречие между уровнем подготовки выпускника средней школы в соответствии с программой по математике и требованиями, предъявляемыми к абитуриенту при поступлении в ВУЗы по теме “ Решение тригонометрических уравнений”.

Задачи:

  • Расширение кругозора учащихся.
  • Уметь находить и анализировать информацию.
  • Уметь выбирать необходимое, делать вывод и использовать полученные сведения и умения.

Подготовительный этап:

Учащимся было предложено решить уравнение * (2cos x – 1) = 0

Решение:

7х – х2 = 0, х1 = 0, х2 = 7

7х – х2 1.jpg (8594 bytes) 0, х [ 0; 7]

2cos x – 1=0, х = ± + 2n, n Z

n = 0, х1 = , х2 = - [ 0; 7]

n= 1, х1 = [ 0; 7] , х2 =

n=2, х = - + 4= [ 0; 7]

Ответ: 0; 7; ; .

При решении уравнения возник вопрос: “Всегда ли количество корней тригонометрического уравнения бесконечно?” Выяснили, что количество корней ограничено областью допустимых значений второго множителя. Поскольку решение данного уравнения заинтересовало учащихся, а в учебнике их нет, мы предложили им обратиться к другим источникам и найти уравнения такого типа. Обсудили время работы – в течение недели во внеурочное время.

Все учащиеся распределились на группы, каждая из которых изучала определённые источники:

  • Экзаменационные материалы за курс средней школы, материалы ЕГЭ.
  • По материалам вступительных экзаменов в ВУЗы.
  • Другие источники.

Практический этап:

Некоторые уравнения, найденные учащимися, были решены на уроке, остальные предложены для самостоятельного решения, которые составили дидактический материал.

Решите уравнения:

1. sin * cos * = 0

Решение: Произведение из трёх множителей заменим двумя. Используем условие равенства произведения нулю. При этом важно не забыть проверить, определён ли второй множитель при том значении аргумента, когда первый множитель обращается в нуль.

2. sin * cos * = 0 sin х * = 0

Ответ: - 4; 4; -;.

2. cos2 =1

Решение: Преобразуем уравнение к виду

1 – sin2 =1, sin =0. Следовательно, =n,   откуда х2 =. Это уравнение имеет решение только при условии 0, т.е. при 0< n ? 1,27. С учётом целочисленности единственным возможным значением n является n =1. Тогда х2= , х= ± . Итак, уравнение имеет только два решения.

Ответ: х = ±.

 

3. sin (cos x)=0

Решение: cos x = n, n Z; cos x = n, n = 0;1;-1

cos x = 0

cos x = 1 х =, k Z

cos x = -1

Ответ:, k Z

4. cos=0

Решение:

= + n, n Z при условии -2 х 2

n = 0, = , х = ±

n =1, = , х2 = < 0

Ответ: ±

Дидактический материал

Сколько корней имеет уравнение.

1. (cos2 х –sin2 х) * =0 Ответ: 4 корня
2. ( - 1) * = 0 Ответ: 5 корней
3. ( - 1)*= 0 Ответ: 4 корня
4. ( 1 – 2sin2 ) * = 0 Ответ: 2 корня

Решите уравнение.

5. cos () = Ответ: (3 ± 2)
6. cos = 0 Ответ: ±
7. sin ( + 1) = 0 Ответ: ±
8. sin (+ 2) = 0 Ответ: ±
9. sin (+ ) = 0 Ответ:

Определите число корней уравнения при указанных ограничениях.

10. sin х4 * = 0 на интервале (-; 33) Ответ: 9 корней

Защита проекта прошла в форме смотра знаний.

Используемая литература:

1. Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Корешкова Т.А. – Алгебра и начала анализа 10-11 классы, Москва, “Мнемозина” 2003
2. Мордкович А.Г., Литвиненко В.Н.- Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. Москва, “Просвещение” 1991
3. Денищева Л.О. и др. – Учебно –тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ., Математика. Москва, “Интеллект – Центр” 2004
4. Шеломовский В. – ЕГЭ 2003 Математика. Учебно – методическое пособие для школьников, учителей и студентов педагогических ВУЗов. Мурманск. МГПУ   2003
5. Шеломовский В. – ЕГЭ 2004 Математика. Учебно – методическое пособие для школьников, учителей и студентов педагогических ВУЗов. Мурманск. МГПУ 2004
6 Дорофеев Г.В. – Математика. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике ( курс А) и алгебре и началам анализа ( курс В) за курс средней школы. 11 класс. Москва, “Дрофа” 2002
7. Абитуриенту: экзаменационные задачи по математике (Под редакцией С.А.Назарова. Государственная морская академия им. С.О.Макарова)С. – Петербург, “ Элмор” 199
8. Газета “Математика”.

28.02.2005