Урок математики на тему "Методы решения логарифмических уравнений"

Цель урока: выработка умений самостоятельного применения знаний в стандартных и нестандартных ситуациях.

Задачи урока распределяются по 3 уровням:

• 1 уровень – уметь решать простейшие логарифмические уравнения, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
• 2 уровень – уметь решать логарифмические уравнения, выбирая самостоятельно способ решения;
• 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.

Тип урока: комплексное применение знаний.

Ход урока

Организационный момент

Сообщение учителем темы, целей и задач урока, его основных моментов.

Актуализация комплекса знаний

Фронтальный опрос класса:

• Что понимают под логарифмическим уравнением?
• Что называют корнем уравнения?
• Что значит “решить уравнение”?
• Какие уравнения называются равносильными?
• На доске записаны формулы. Какие из них неверные?

Диктант (с последующей взаимопроверкой)

Возможные ответы: “да” — , “нет” —

В-1	В-2
Верно ли утверждение:
Равносильны ли уравнения:
Ответы:

Результаты диктанта анализируются, оцениваются и выставляются в оценочный лист.

Определяется готовность учащихся к комплексному применению знаний.

Рассматриваются методы решения логарифмических уравнений

Преобразование логарифмических уравнений.

При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялась.

Пример 1. Решите уравнение 2 + 6 log₈ x = log₂ (6x + 18).

Решение. Данное уравнение равносильно:

1. log₂ 4 + 2 log₂. x = log₂ (6 + 18) o
2. log₂ 4x² = Iog₂(6x + 18), o 14x² - 6x + 18, x>0 .
3. x>0.

Преобразование 2 log₂ x = log₂ x² расширяет область определения уравнения, поэтому к полученному уравнению необходимо добавить неравенство х > 0. Далее решим квадратное уравнение и “отбросим” отрицательный корень.

Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение lg (х + 4) + lg {2х + 3) = lg (1 - 2х).

Решение. Данное уравнение равносильно:

1. lg (x + 4)(2x + 3) = lg (1- 2x) 2x² + 13x + 11 = 0,
2. 2х + 3 > О, o - 1,5 < x < 0,5.
3. 1 - 2х > О

Ответ: -1.

Для решения уравнений, содержащих логарифмы с разными основаниями, используется формула перехода от одного основания к другому:

- log_a b = .

Пример 3. Решите уравнение log₂ x + log₄ x + log₁₆ x = 7.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

4 log₂ х + 2 log₂ x + log₂ x = 28 o log₂ x = 4.

Ответ: 16.

Пример 4. Решите уравнение log₄ х² + log₂ (х + 2) = 0.

Решение. Поскольку

log₄ х² = = log_2,

то уравнение примет вид:

log₂ | x ! + log₂ (x + 2) = 0 <=> log₂ | x(x + 2) = log₂ 1 и х ? 0 .

осталось рассмотреть два случая:

x² + 2x – 1 = 0, где х > 0

x = - 1

2) x² + 2x + 1 = 0, где х < 0

X = - 1.

Ответ: - 1; - 1.

Замена переменных в уравнениях.

Некоторые логарифмические уравнения сводятся к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменных.

Пример 5. Решите уравнение 4 – lg x = 3 .

Решение. Воспользуемся методом замены. Пусть = t, тогда данное уравнение примет вид t² + 3t – 4 = 0, откуда t₁ = 1, t₂ = - 4 (посторонний корень).

Следовательно, = 1, lg x = 1, х = 10.

Ответ: 10.

Логарифмирование уравнений.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида у = f(x)^g(х), при этом подразумевают, что f(x) > 0. Так будем поступать и мы. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Пример 5. Решите уравнение х^х+2 = х⁵.

Решение. х^х+2 = х⁵ o lg x^x+2 = lg x⁵ o (x + 2) lg x = 5 lg x o ( x – 3 ) lg x = 0.

Ответ: 1; 3.

4.Самостоятельное комплексное применение знаний.

1 уровень:

1 вариант

• log ₃ x= 4
• log ₂ x= -6
• log_x 64 = 6
• - log _x64 = 3
• 2 log _x8 + 3 = 0

2 вариант

• log ₂ x= 5
• log ₅ x= -3
• log _x81 = 4
• - log _x625= 4
• 3 log_x 64 + 2 = 0

Работа проверяется, оценивается. Верное решение всех заданий дает право учащемуся приступить к выполнению второго уровня. В противном случае ученик корректирует свою работу и выполняет задания другого варианта этого же уровня. При успешном выполнении данной работы, приступает к следующему уровню.

2 уровень.

1 вариант

• log ₃ (2х - 1) = log ₃ 27
• log ₃ (4х+5)+log ₃ (х +2) = log ₃ (2х +3)
• log ₂ х = - log ₂ (6х - 1)
• 4 + log ₃(3-х) = log ₃ (135-27х)
• log (х - 2) + log ₃ (х - 2) = 10

2 вариант

• log ₂ (х + 3) = log ₂ 16
• 2 log ₅ (3-4х)-log ₅ (2х +1)² = 0
• 2 log ₃ (7х - 10) = log ₃ х
• lg (х -1)+lg х = lg (5х-8)
• -lg (х - 1)-lg = -6

Самоконтроль работы (правильные ответы у учителя), занесение результатов в оценочный лист.

Успешное выполнение 2 уровня дает право на решение 3 уровня.

3 уровень.

1 вариант

• 2log ²₃ х - 7 log ₃ х + 3 = 0
• lg ² х - 3 lg х - 4 = 0
• log ² ₃ х - log ₃ х - 3 = 2 ^lоg ₂ ³

2 вариант

• log² ₃ х - 3 log ₃ х + 2 = 0
• lg ² х - 2 lg х - 3 = 0
• 3log ² ₈ х +2 log ₈ х +2 = 0,5 ^lоg _0,53

3 вариант

• log ₇ (х ² - 2х + 1) = 1
• log ² ₃ х - log ₃ х = 2
• 2 log ₅ (х + 3)+log _0,2 (х +4) = log ₂ 5

4 вариант

• log ₆ (х ² - 5х + 40) = 2
• log ²₃ х + 2 log ₂ х = 3
• log ₅ 7 = 2 log ₇ х - log ₇ (х+4)

Работы оцениваются. Подводят итоги всей работы. Коррекция проводится на каждом этапе работы. Ошибки анализируются вместе с учителем и при необходимости для закрепления положительного результата ученик выполняет задания этого же уровня другого варианта.

5. Итог урока.

Мы с вами в ходе комплексного применения знаний выработали навык самостоятельного применения полученных знаний в стандартных и нестандартных ситуациях. В результате выполнения работ каждый смог оценить себя и определить свой уровень, сделать выводы.

6. Задания для самостоятельного домашнего решения:

(Для ребят увлеченных математикой)

а) log ₉ (2 • 3^2х - 27) = х

б) -4 = log _0,5 (1 + 3х) + log _0,5 (х - 4)

в) log ₅ (5 + 3х) = log ₅ 3 • log ₃ (2х + 10)

г) 4 log ₅ + log ²₅ х = 5

д) log ₂ х + log ₅ х = 1

е) 2 (log ₃ х ² - 3) • log ₅ = 2 log ₅ + log ₃ .

Оценочный лист

Номер варианта-----------------------------------------

Фамилия, имя---------------------------------------------

Класс-----------------------------------------------------

Вид работы	диктант	1 уровень	2 уровень	3 уровень	итог
Результат работы (оценка)