Построение изображения в вогнутом сферическом зеркале

Разделы: Физика


ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ВОГНУТОМ СФЕРИЧЕСКОМ ЗЕРКАЛЕ.

При выводе уравнения Гаусса мы строили отраженный луч по известному закону отражения: “Угол отражения равен углу падения”. Равные углы достаточно просто строятся с помощью циркуля и линейки, но использовать подобные построения при нахождении изображения в зеркалах достаточно громоздко. Посмотрим, можно ли найти более простой способ построения, опираясь на решения уравнения Гаусса.

Уравнение Гаусса имеет два очевидных решения: (1) d = , f = F и (2) d = F, f = . Наиболее простая интерпретация этих решений с точки зрения лучей следующая:

на зеркало падает луч, параллельный ГОО (главной оптической оси) (d = ), который после отражения проходит через фокус зеркала (f = F);

на зеркало падает луч, лежащий на линии, проходящей через фокус зеркала (через фокус может проходить не сам луч, а его продолжение в обратную сторону) (d = F).

Позже, при построении хода произвольного луча, мы увидим, что у решений (1) и (2) могут быть другие интерпретации.

Луч, соответствующий решению (1), мы назовем 1М лучом; луч, соответствующий решению (2) – 2М лучом. Очевидно, что эти лучи очень удобны для построения, так как найти точку пересечения горизонтального и наклонного лучей существенно проще, чем точку пересечения двух наклонных лучей.

Кроме того, можно использовать еще два стандартных луча: луч 3 – луч, падающий на полюс зеркала, – отражается симметрично ГОО, и луч 4 – луч, идущий через центр зеркала, – отражается снова в центр зеркала.

При построении лучей 1 и 2 возникает следующая проблема: как строить эти лучи для зеркал с большой апертурой. Вспомним, что апертурой называется угол, под которым видны противоположные края зеркала из его центра. Дело в том, что уравнение Гаусса получено в приближении параксиальных лучей, то есть лучей, идущих вблизи ГОО. Только для этих лучей можно однозначно ввести понятие фокуса как точки на ГОО, в которой после отражения от зеркала сходятся лучи пучка лучей, параллельных ГОО. На самом деле существует явление сферической аберрации, заключающееся в том, что лучи, параллельные ГОО, пересекают ГОО в различных точках, в зависимости от расстояния между падающим лучом и ГОО.

Именно поэтому мы рассматриваем сферические зеркала с малой апертурой ( 6o). Но для наглядности чертежа мы рисуем зеркала с большой апертурой и поэтому необходимо выяснить, как отражать лучи 1 и 2, чтобы они давали правильное изображение. Построение изображения в вогнутом сферическом зеркале посмотрим с помощью презентации приложение1.ppt

Мы ввели новое понятие – главную плоскость сферического зеркала – плоскость, перпендикулярную ГОО и проходящую через полюс зеркала. Именно потому, что на чертеже мы отражаем лучи не от сферического зеркала, а от главной плоскости, часто сферические зеркала рисуют так, как показано на рисунке.

Мы рассмотрели построение точки, не лежащей на ГОО. А как построить изображение точки, лежащей на ГОО? Ведь для нее все вышерассмотренные лучи совпадают с ГОО, и мы не можем найти точку пересечения с ГОО. Поэтому необходимо использовать произвольный луч, что мы и делали при выводе уравнения Гаусса. Естественно, хотелось бы найти простые правила для построения отраженного луча в этом случае.

Произвольный луч является произвольным для данного зеркала с данной ГОО. Но, может быть, можно превратить его в стандартный луч для другого зеркала, которое является частью исходного зеркала? У нового зеркала ГОО является побочной оптической осью (ПОО) исходного зеркала. Давайте посмотрим это с помощью презентации приложение2.ppt.

Мы ввели понятие фокальной сферы. Но с учетом того, что мы рассматриваем зеркала с малой апертурой, можно заменить часть сферической поверхности плоскостью, перпендикулярной ГОО исходного зеркала. Такая плоскость называется фокальной плоскостью (ФП). Таким образом, если мы работаем в приближении, когда справедливо уравнения Гаусса, то для построения изображений в сферических зеркалах можно пользоваться не сферическими поверхностями, а главной и фокальной плоскостями. Рассмотрим, как строится ход произвольного луча в этом приближении приложение3.ppt .

А теперь рассмотрим, какими свойствами обладают точки фокальной плоскости. Если на зеркало падает параллельный пучок лучей, не параллельный ГОО, то после отражения все лучи сойдутся в одну точку ФП, так как ПОО для всех этих лучей одна и та же. Это и есть другая лучевая интерпретация решения (1) уравнения Гаусса. Чтобы понять другую интерпретацию решения (2), воспользуемся принципом обратимости лучей, который утверждает, что если вышедший из оптической системы луч пустить в обратном направлении, то он выйдет из системы по первоначально падавшему на систему лучу. Отсюда следует, что если из какой-либо точки фокальной плоскости пустить на зеркало расходящийся пучок, то после отражения он превратится в пучок, параллельный ПОО, проведенной в данную точку ФП.

Используя вышеуказанные свойства параллельных пучков и пучков, выходящих из какой-либо точки ФП, можно предложить различные способы построения хода произвольного луча, представленных в презентациях приложение4.ppt, приложение5.ppt, приложение6.ppt и приложение7.ppt .

Строя изображение с помощью лучей 1 и 2, мы фактически решали уравнение Гаусса графическим образом. Однако есть более простой способ графического решения уравнения Гаусса – с помощью номограмм.

Номограмма (от греческого номос – закон и грамма – черта, буква, изображение) – чертёж для изображения функциональной зависимости (формула, уравнение, система уравнений), позволяющий найти ответ (или ответы) по заданным значениям переменных без вычислений и исследовать функциональную зависимость.

Для решения уравнения Гаусса существует несколько типов номограмм. На мой взгляд, наиболее удобной является следующая элементарная номограмма. (Номограмма называется элементарной, если ответ находится в результате одной геометрической операции, в данном случае – проведение прямой через две точки).

Берутся две взаимно перпендикулярные оси: ось Оd, где d – расстояние от предмета до зеркала, и ось Оf, где f – расстояние от зеркала до изображения. В этой системе координат для вогнутого зеркала берётся точка М(F,F), а для выпуклого зеркала – точка N(–F, –F). Любая прямая, проведенная через соответствующую точку, отсекает на осях Оd и Оf значения d и f, удовлетворяющие уравнению Гаусса. Построение номограмм и доказательство их применимости рассмотрены в презентациях приложение8.ppt, приложение9.ppt и приложение10.ppt

Эти номограммы применимы не только к сферическим зеркалам, но и к линзам.

С их помощью очень удобно проводить анализ зависимости изображения от расстояния предмета до зеркала, том числе и для случая мнимых предметов (d < 0), когда на зеркало (линзу) падает сходящийся пучок лучей. Подобная ситуация возникает, если с помощью какой-либо системы на экране получено изображение, а затем на пути лучей между экраном и системой поставлено зеркало (линза). При этом положение экрана определят положение мнимого предмета относительно зеркала (линзы). Все построения выполнены следующим образом:

а) предмет представлен в виде вертикальной стрелки, опирающейся на ГОО;

б) с помощью лучей 1 и 2 строится изображение верхнего конца стрелки;

в) с помощь произвольного луча строится изображение нижнего конца стрелки с двоякой целью: во-первых показать различные случаи построения произвольного луча, во-вторых доказать, что объект, перпендикулярный ГОО, отражается в объект, также перпендикулярный ГОО;

г) строится номограмма для данного случая;

д) делается вывод о характере изображения.

Несколько слов о построении изображения мнимого предмета. Каждая точка предмета получается пересечением каких-либо лучей, вернее, пересечением не самих лучей, а их продолжений за зеркало. Поэтому принцип построения следующий: для точки предмета рисуются такие лучи, ход которых после отражения от зеркала известен и на месте пересечения отраженных лучей или их продолжений получается точка изображения.

Случай предмета за центром зеркала рассмотрен в презентации приложение11.ppt, предмета в центре зеркала в презентации приложение12.ppt, предмета между центром и фокусом зеркала в презентации приложение13.ppt, предмета между фокусом и зеркалом в презентации приложение14.ppt и мнимого предмета в презентации прложение15.ppt.

Совместное построение номограммы и изображений в зеркалах (линзах) показывает, что

  1. изображение действительно, если f > 0, и мнимое, если f 0;
  2. предмет действительный, если d 0, и мнимый, если d < 0;
  3. изображение прямое, если d·f 0, и перевернутое, если d·f > 0.

Номограммы применимы и для случая, когда по разные стороны от линзы находятся различные среды и уравнение Гаусса имеет вид: 1 = F1/d + F2/f. В этом случае точка М имеет координаты (F1,F2), а точка N – (–F1, –F2).

5.03.2007