Урок обощения и систематизации знаний в 9-м классе по теме "Решение алгебраических уравнений высших степеней"

Цели:

1. Обобщить, углубить знания учащихся по этой теме.
2. Развивать умение наблюдать, сравнивать способы решения уравнений, решать уравнения с параметрами.
3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность. Побуждать учеников к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование:

• экран,
• мультимедийная установка,
• таблицы.

У учащихся на столе оценочный лист, работа каждого ученика на уроке связана с этим листом.

Оценочный лист учащегося

Критерии оценок:

“5” - 18 ? n ? 20 баллов;

“4” - 14 ? n ? 16 баллов;

“3” - 11 ? n ? 13 баллов;

“2” - менее 11 баллов.

Ход урока

Учитель. Тема урока: “Решение алгебраических уравнений”.

На этом уроке каждый ученик должен уметь верно и рационально решать алгебраические уравнения, потому что эти уравнения – фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Эта тема является ступенькой в изучении боле сложного материала математики в средней школе.

В конце урока будет проведена самостоятельная работа.

I. Проверка домашнего задания

(На компьютере заранее подготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям, обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверки).

Предварительное домашнее задание

1. Решить уравнение х³ – х + 4 = 0 – графическим способом;
2. Решить уравнение х³ +2х² -5х - 6 = 0;
3. Решить уравнение ;

Решение первого уравнения.

Перепишем уравнение в виде: х³ = х – 4.

Построим графики функций у = х³ и у = х – 4.

Графики функций пересеклись в точке А. Абсцисса этой точки и есть корень уравнения х³ = х – 4.

По рисунку видно, что корень находится в промежутке (-2; 0) и приблизительно равен -1, 9. х -1,9.

Ответ: х -1,9.

Решение второго уравнения:

х³ +2х² -5х - 6 = 0,

обозначим Р₃(х) = х³ +2х² -5х – 6. Делители 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Р₃(2) = 8 +8 – 10 – 6 = 0, Р₃(-2) 0, Р₃(-3) = 0, значит х₁ = 2, х₂ = -3 – корни уравнения, тогда х³ +2х² -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)? М₁(х), найдем М₁(х)

Получим: х³ +2х² -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)? (х + 1),

(х – 2)(х + 3)? (х + 1) = 0, получим корни х₁ = 2, х₂ = -3, х₃ = -1.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = -3, х₃ = -1.

Решение третьего уравнения :

Умножим это уравнение на (х – 2)(х + 3) 0, получим

4х²(х + 3) – 4х(х – 2) = 9х + 2,

4х³ + 12х² – 4х² +8х – 9х – 2 = 0,

4х³ + 8х² –х – 2 = 0,

4х² (х + 2) + (х + 2) = 0,

(х + 2) + (4х² + 1) = 0. Откуда х = -2, а уравнение 4х² + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Проверка.

При х = -2, знаменатели дробей, входящие в исходные уравнения, не равны нулю, значит х = -2 – корень уравнения.

Ответ: х = -2.

В результате обсуждения и проверки домашней работы выясняем сущность способов решения уравнений.

1. графического способа;
2. решение уравнений с целыми коэффициентами;
3. решение дробно-рационального уравнения;

Результаты выполнения домашнего задания заносятся в оценочный лист.

Оценка “5” - нет ошибок, “4” - 2 – 3 ошибки, “3” - более трех ошибок.

II. Диктант

(учитель диктует, но задания написаны на плакате, который висит на доске).

- Назовите целые делители чисел 17, 12.

- Решите уравнение 3х + 2 = 3х + 3.

- Угадайте хотя бы один корень уравнения х³ - 10х + 9 = 0.

- Решите уравнени е.

- Делится ли нацело квадратный трехчлен х² - 5х + 6 на х – 2?

- Для какого из многочленов 2х³ - 3х² + х – 5 и 2х³ - 3х² + 3х корнем является число 0?

Диктант проверяется с помощью компьютера.

Критерии оценок: “5” - нет ошибок, “4” - одна ошибка, “3” - две ошибки.

III. На доске записаны уравнения в два столбика:

а) х3 + 7х2 – 2 = 0; б) х5 + 4х4 – 5х3 + 2х2 – 2 = 0; в) х4 – 3х2 + 2 = 0; г) 3х3 + 6х2 – 3х – 6 = 0;

а) 4х5 - 6х4 + 7х3 – 3х2 + а = 0; б) х4 – 6х3 + 5х2 + 7х + а = 0; в) 2х2 – 3х2 + 4х + а = 0; г) х3 - 7х2 + 7х + а = 0;

1. Выбрать из первого столбика уравнения, имеющие корень х = 1.
2. При каком а каждое из уравнений второго столбика будет иметь корень х = 1.

Проверка задания осуществляется с помощью компьютера.

Критерии оценок: “5” - нет ошибок, “4” - одна ошибка, “3” - две ошибки.

IV. Индивидуальная работа

У доски три ученика решают уравнения, записанные на карточках.

1. 2х³ - 3х² + 4х – 3 = 0;
2. х⁴ – 6х³ + 5х² + 7х – 7 = 0;
3. х³ - х² - 8х + 6 = 0;

Остальные учащиеся решают уравнение

2х⁴ – 5х³ - х² + 5х + 2 = 0

Один из учащихся комментирует ход решения с места.

Это возвратное уравнение. х = 0 не является корнем уравнения. Делим уравнение на х².

;

;

.

Вводим замену , , , тогда 2(t² + 2) – 5t -1 = 0; 2t² + 4 – 5t – 1 = 0; 2t² – 5t + 3 = 0; D = 25 – 24 = 1.

t₁ = 3/2; t₂ = 1.

; .

Решая первое уравнение, получим: , х₁ = 2, х₂ = -1/2.

Решая второе уравнение, получим: .

Ответ: х₁ = 2, х₂ = -1/2, , .

Работу учащихся оценивает учитель:

“5” - нет ошибок, “4” - одна ошибка, “3” - две ошибки.

Решение третьего уравнения х³ - х² - 8х + 6 = 0.

Делители 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Обозначим Р₃(х) = х³ - х² - 8х + 6,

Р₃(2) 0, Р₃(-2) 0, Р₃(3) = 27 - 9 - 24 + 6 = 0, х₁ = 3 – корень.

Р₃(х) = (х – 3)М₂(х). Найдем М₂(х).

х³ - х² - 8х + 6 = (х – 3)( х² + 2х – 2);

(х – 3)( х² + 2х – 2) = 0;

х₁ = 3, , .

Ответ: х₁ = 3, ,.

V. Решение уравнений, содержащих параметр.

На доске три уравнения.

1. ах³ - 2х² - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 2.
2. х³ + ах² - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен 3.
3. х³ - х² + ах + 12 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 3.

Ученик решает первое уравнение на доске.

ах³ - 2х² - 5х + 6 = 0

Ученик. Так как -2 является корнем уравнения, то

а(-2)³ – 2(-2)² – 5(-2) + 6 = 0

-8а – 8 + 10 + 6 = 0, а = 1, тогда х³ - 2х² - 5х + 6 = 0.

Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 является корнем уравнения, т.е. два корня найдены. Находим третий корень.

- 2х² - 5х + 6 = (х + 2)(х – 1)(х – 1), х = 3 – третий корень.

Ответ: х₁ = -2, х₂ = 1, х₃ = 3.

Второе уравнение решает другой ученик на доске с комментариями, а третий ученик в это время решает третье уравнение на обратной стороне доски.

Решение третьего уравнения проверяем все вместе.

х³ - х² + ах + 12 = 0

Так как х = -3, то -27 – 9 – 3а + 12 = 0, -3а = 24, а = -8.

Тогда х³ - х² – 8х + 12 = 0; Р₃(х) = х³ - х² - 8х + 12 = (х + 3)М₂(х),

х³ - х² – 8х + 12 = (х + 3)(х² - 4х + 4); (х + 3)(х² - 4х + 4) = 0;

Корнями уравнения являются х₁ = - 3, х₂ = 2, х₃ = 2.

Ответ: х₁ = - 3, х_2,3 = 2

VI. Самостоятельная работа по вариантам

I вариант	II вариант
1) Решите уравнение
х3 - 4х2 - 9х + 36 = 0	х3 - 5х2 - 8х + 40 = 0
2) Решите уравнение

3) Найдите а и решите уравнение, если известен один из его корней

2х3 – (а+4)х2 + 2(а - 1)х + а = 0	6х3 + 2(а-9)х2 - 3(2а - 1)х + а = 0
х1 = 1/2	х1 = 1/3

Ответы:

1) х1 = - 3, х2 = 3, х3 = 4	1) х1 = 5, , х3 =
2) х = 1	2) х1 = 1/2, х2 = - 1/3
3) а = 1, х1 =1/2,	3) а = -1, х1 = 1/3,

Самостоятельная работа выполняется на листочках . Листок ученики подписывают и сдают учителю, предварительно выписав свои ответы в тетради. Проверка, оценивание и подведение итогов осуществляется при помощи компьютера.

Критерии оценок:

“5” - выполнено верно,

“4” - за два правильных задания,

“3” - за одно задание.

VII. Подведение итогов урока

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснение по домашнему заданию.

VIII. Домашнее задание

Если ученик получил оценку “4” или “5”, то задание такое:

Решить уравнения

4х⁴ - 11х² + 9х - 2 = 0

Если ученик получил оценку “3”, то решить уравнения:

х³ - 3х - 2 = 0

х³ - 4х² + 5х - 2 = 0