Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (8-й класс)

Разделы: Математика


Основные цели:

  • сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;
  • повторить и закрепить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Оборудование: Демонстрационный материал.

Задания для актуализации знаний:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

Эталоны:

1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:

  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
  2. Сложить или вычесть полученные дроби.

2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

  1. Раскладываем все знаменатели на множители.
  2. Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
  3. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
  4. Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
  5. Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.

3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:

3) Карточка для этапа рефлексии.

  1. Данная тема мне понятна.
  2. Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
  3. Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
  4. В самостоятельной работе у меня всё получалось.
  5. Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
  6. Я доволен своей работой на уроке.

ХОД УРОКА

1. Самоопределение к деятельности.

Цели этапа:

  1. Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
  2. Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

- Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.

- С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)

- Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)

- Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)

- Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)

- Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цели этапа:

  1. Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
  2. Зафиксировать затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:

1) +== ;

2) -==== -1;

3) +=+= ;

4) +=+=;

5) -=-==.

Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.

В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:

- Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)

- Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!

- Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?

Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.

- Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)

Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)

- Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?

Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.

Слова учеников приблизительно такие:

- Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”

Ответ на задания 4–5 не получены.

3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

  1. Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
  2. Сформулировать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

- Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)

- Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

- Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

- Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Тема урока записывается в тетрадях.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

  1. Построение детьми нового способа действий.
  2. Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Организация учебного процесса на этапе 4:

- Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)

- Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)

- Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)

Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.

Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:

  1. Раскладываем все знаменатели на множители.
  2. Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
  3. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
  4. Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
  5. Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.

- Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.

- Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа:

  1. Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
  2. Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

- Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)

- Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.

Далее начинается работа:  № 136(а). (Один ученик у доски, остальные выполняют задание в тетрадях.)

-.

Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.

Приблизительно это звучит так:

- Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10xy. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.

- Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.

№133 (а, г). Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:

а) +=+==;

г) +=+==.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цели этапа:

  1. Провести самостоятельную работу.
  2. Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
  3. Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

- Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.

№134 (а, б): выполняют работу по вариантам.

а) - б) -

После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.

Проводится анализ и исправление ошибок.

- Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)

- Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)

- Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)

- Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!

- Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые ).

- И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.

7. Включение новых знаний в систему знаний.

Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

Организация учебного процесса на этапе 7:

- Ребята! Как я уже заметила, необходимо всегда “поддерживать связь” нового материала с пройденными темами. Поэтому сейчас я предлагаю задания, для выполнения которых потребуются не только сегодня полученные знания, но и материалы ранее изученных тем.

Учащимся предлагается задания, в которых новый способ действий связывается с изученными до сегодняшнего дня способами. Работа с предложенными заданиями проводится в группах:

Выполнить действия:

1) + ; 3) + ;

2) + ; 4) +.

По окончанию работы представитель каждой группы выступает с получившимися результатами

8. Рефлексия урока.

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 8:

- Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

- Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)

- Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)

- А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:

У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.

- Молодцы!

Домашнее задание: параграф 4 (учебник);  № 126, 127 (задачник).