"Двугранный угол", геометрия, 10-й класс

Разделы: Математика


Место урока при изучении: Данный урок является шестым в теме «Перпендикулярность в пространстве» курса геометрии 10 класса и первым при изучении данного параграфа.

Учебник: Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 10-11» М. Просвещение, 2006.

Цели урока:

  1. Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла.
  2. Сформулировать алгоритм построения линейного угла для данного двугранного.
  3. Рассмотреть задачи на построение линейного угла.

Оборудование для урока:

  1. Листы с печатной основой по теме урока для каждого ученика (листы каждого урока в дальнейшем брошюруются в конспекты по теме и сдаются на проверку в конце изучения данной темы).
  2. Компьютер, проектор, экран (для демонстрации презентации по данному уроку).
  3. Модели двугранных углов, выполненные учащимися (для иллюстрации практических задач урока и подготовки к зачету).
  4. На закрытом крыле доски изображение куба (для иллюстрации ответа на вопрос №2).
  5. По 5 маленьких листков для каждого ученика, которые до начала урока необходимо подписать и пронумеровать (для ответов на блиц-вопросы по теме).
  6. Презентация на сайте школы в разделе «Для лицеистов ГОУ СОШ №420 / геометрия 10 (матем) /тема 05. Двугранный угол /конспект по теме / страница 1-2» (материалами данной презентации учащиеся могут быть пользоваться при самоподготовке).
  7. Электронный журнал.
  8. Лист с содержанием дополнительного домашнего задания (вывесить на стенд в конце урока).

Ход урока

1. Актуализация знаний

(в форме беседы с элементами контроля)

Учитель: В ходе изучения темы «Перпендикулярность в пространстве» мы уже познакомились с целым рядом интересных и полезных фактов, В частности, это ряд определений и теорем об углах и расстояниях в пространстве. Коротко повторим эти факты:

    • Что называется углом между пересекающимися прямыми (наименьший из четырех углов, получающихся при пересечении двух прямых)
    • Что называется углом между пересекающимися прямой и плоскостью (угол между прямой и ее проекцией)

Далее логично становится вопрос об угле между плоскостями. И в ходе рассмотрения этого вопроса нам понадобится понятие проекции

    • Что называется проекцией точки на плоскость? (сама точка, если она лежит в плоскости проекции, основание перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, для точки не принадлежащей плоскости проекций)
    • Что является проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную данной прямой? (Проекцией наклонной является прямая)
    • Как следует строить проекцию данной наклонной на заданную плоскость? (Построить проекции двух точек наклонной на плоскость проекции. Эти точки зададут искомую прямую)
    • О каких трех прямых идет речь в самой основной теореме данной темы – теореме о трех перпендикулярах? (В теореме о трех перпендикулярах рассматриваются три прямые: наклонная к плоскости, ее проекция, и прямая, лежащая в плоскости проекции)

Учитель: В течение урока вам будет предложено 5 вопросов, ответы на которые вы должны записать на маленьких листках и быстро сдать их на проверку. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, которые суммируются в итоговую отметку за работу на уроке «5».

Вопрос 1.
(ответ записать на маленьких листках и сдать на проверку учителю)
Сформулировать теорему о трех перпендикулярах:
Наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, тогда и только тогда, когда ее проекция перпендикулярна этой прямой.

 Листки в быстром темпе собираются по рядам, учитель сам устно формулирует правильный ответ, акцентируя внимание на отличие данной формулировки от введенной в учебнике, а именно:

  • сформулированы две теоремы в одной;
  • прямая в плоскости «не закреплена» на основании наклонной

и, просмотрев записи во время заполнения учащимися второй карточки. Результаты проверки заносятся в электронный журнал, который проецируется с помощью проектора на экран. (Каждый правильный ответ добавляет 1 балл к отметке за работу на уроке). Ошибки, выявленные по листкам, анализируются и эти листки откладываются отдельно.

Учитель: А теперь нам предстоит построить некоторые проекции.

Вопрос 2.
(ответ записать на маленьких листках и сдать на проверку учителю)
Изобразить куб ABCDA1B1C1D1 и указать проекцию диагонали AC1 куба на плоскости граней ABC и BCC1 (сделать соответствующие записи).
(названия диагонали и данных граней записываются учителем на доске)

Собрав листки с ответами, на рисунке куба (заготовленном на закрытом крыле доски) учитель с помощью цветных мелков показывает построение и необходимые записи.

2. Сообщение новых знаний

(в форме беседы с демонстрацией презентации)

Учитель: А теперь мы рассмотрим новое для нас понятие стереометрии. Тема урока «Двугранный угол». Работаем с конспектом и смотрим на экран.

На экране появляется слайд 1 презентации.

В ходе урока учащиеся заполняют страницы конспекта по мере появления записей на экране слайды 2-3 презентации.

Учитель: Далее рассмотрим пример рассуждения (по введенному алгоритму) при решении задач на построение линейного угла (на странице 1 конспекта).

Учитель формулирует вопрос алгоритма, ученики (по желанию, не вставая с места) предлагают свой вариант ответа. Правильный ответ сопровождается соответствующей анимацией слайда 4.

Аналогичная работа проводится с задачей 2.

3. Закрепление новых знаний

(в форме беседы с демонстрацией презентации по странице 2 конспекта)

Учитель: Мы уже видели, что у каждого многогранника может быть несколько двугранных углов. У тетраэдра, например, можно выделить 6 двугранных углов и для каждого из них существует свой линейный угол. На странице 2 конспекта вам предложен тетраэдр, для которого необходимо указать три из возможных шести углов.

Вопрос 3.
(по задаче №1а на странице 2 конспекта, ответ записать на маленьких листках и сдать на проверку учителю)
Указать ребро и грани двугранного угла PТMK.

После того, как листки с ответами сданы, правильный ответ показывается соответствующей анимацией слайда 5.

Аналогичная работа проводится с остальными вопросами. слайды 6-7.

Вопрос 4.
(по задаче №1а на странице 2 конспекта, ответ записать на маленьких листках и сдать на проверку учителю)
В гранях указать направления, перпендикулярные ребру и обосновать свой ответ.

Учитель: Найденные нами в гранях угла прямые, перпендикулярные ребру, являются скрещивающимися. Именно для этой задачи нам понадобится третий пункт алгоритма.

Учитель: На следующем уроке мы продолжим упражняться в поиске линейных углов для данного двугранного, и рассмотрим следующие задачи конспекта.

На экране показываются слайды 8-10. 

Кроме этого нам предстоит научиться вычислять градусные меры двугранных углов по заданным элементам тетраэдра, как например в задаче № 173 учебника. слайд 11

Впрочем, градусную меру угла АВС из рассмотренной нами задачи №1а, мы сможем найти уже сейчас. Это – последний вопрос сегодняшнего урока, ответ на который следует записать на маленьких листках

Вопрос 5.
(по задаче №1а) на странице 2 конспекта, ответ записать на маленьких листках и сдать на проверку учителю)
Укажите градусную меру угла АВС (обоснуйте свой ответ).

После того, как листки с ответами сданы, учитель записывает на доске правильный ответ и проверяет записи учащихся . По итогам проверки всех 5 листков в электронном журнале появляется итоговая отметка за работу на уроке каждого ученика.

4. Пояснения к домашнему заданию

(*) Дополнительное домашнее задание (на исправление отметки за урок)

Учитель: В качестве домашнего задания вам предлагается заполнить до конца страницу 2 конспекта.

Для тех учащихся, кто не доволен своей отметкой за урок, и для желающих получить дополнительную отметку по данной теме, предлагается необязательной домашнее задание.

На экран проецируется слайд 12, аналогичная информация вывешивается на рабочий стенд в кабинете.

5. Подведение итога урока

Учитель: Через урок вам предстоит сдавать зачет по материалу данной лекции. Содержание зачета (разное для разных подгрупп) приведено на страницах 2-3 конспекта.

Содержание зачета по стр.1-5 конспекта
1 ПОДГРУППА: 1 задача «Указать 3 линейных угла» по стр. 3-4 изменено положение тетраэдра и названия точек (max 3 балла) + 6 вопросов по формулировкам основных определений данной темы (см стр. 1-2) и теорем из прошлых тем (по ½ балла).
2 ПОДГРУППА: 1 задача «Указать 3 линейных угла» по стр. 3-4 (max 3 балла) + 1 «незнакомая» задача на вычисление двугранного угла.

Учитель: Еще раз остановимся на вопросах теории.

По мере прочтения теоретических вопросов 1-6 опроса на слайде 13, ученики, опираясь на свой конспект, в форме беседы отвечают на них.

Остальные вопросы, приведенные в конспекте у каждого ученика, комментируются при необходимости.

Теоретические вопросы опроса для 1 подгруппы
  1. Определение двугранного угла
  2. Определение градусной меры двугранного угла
  3. Определение линейного угла для данного двугранного
  4. Утверждение о количестве линейных углов для данного двугранного
  5. Способ построения линейного угла
  6. Особенности изображения пространственных геометрических фигур на плоскости
  1. Определение перпендикулярных прямой и плоскости
  2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  3. Лемма о связи параллельности и перпендикулярности трех прямых
  4. Теорема о трех перпендикулярах
  5. Определение проекции фигуры на плоскость
  6. Утверждение о проекции наклонной
  7. Определение и свойства равнобедренного треугольника
  8. Определение и свойства равностороннего треугольника

Листы для учащихся – Приложение 1, презентация урока – Приложение 2, протокол открытого урока – Приложение 3, работы учащихся – Приложение 4, Приложение 5, Приложение 6.

2.03.2009