1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами
Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)
если ставится задача для каждого значения а 
А решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение
х = f(a), (2)
то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.
1.2. Использование параметра как равноправной переменной
Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.
Пример 1. Решить уравнение с параметром.
2x3 – (а+2)х2 – ах + а2 = 0 (1)
Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:
а2 – х(х+1)а – 2х2 + 2х3 = 0 (2)
Найдем дискриминант D.
D = х2 (х+1)2 – 8(х3 – х2) = х4 - 6х3 + 9х2 = х2(х2 - 6х + 9) = х2(х - 3)2.
D = х2(х - 3)2
Найдем корни уравнения (2).
; а2 = 2х.
Получим уравнение (а – х2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности
Рассмотрим уравнение х2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.
D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2
D < 0 при а < - 1/4 корней нет
D > 0 при а > -1/4 два корня 
Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.
Выбираем ответ.
Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2, 
при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х2 = ½
при а < - 1/4 один корень: х = а/2.
Упражнения
Решить уравнения.
- 2x4 – (а+2)х3 – (а – 1)х2 + (а2 – 1) = 0;
- x4 + 6х3 + (4 – 2а)х2 – (6а + 1)х + а2 + а = 0;
- х3 + (2а – 3)х2 + (а2 – 4а + 2)х – а2 + 2а = 0;
- х3 - (2а + 3)х2 + (а2 + 4а + 2)х – а2 – 2а = 0.
1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.
Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.
x4 – 10х3 – 2(а - 11)х2 + 2(5а + 6)х + 2а + а2 = 0;
Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.
а2 + 2а(1 + 5х – х2) + (х4 – 10х3 + 22х2 + 12х) = 0;
Найдем дискриминант
D/4 = 1 + 25х2 + х4 + 10х – 10х3 – 2х2 – х4 + 10х3 – 22х2 – 12х = х2 – 2х +1 = = (х – 1)2
Найдем а1 и а2 ; а1 = х2 -5х – 1 + х – 1 = х2 - 4х – 2;
а2 = х2 -5х – 1 - х + 1 = = х2 – 6х.
Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).
х2 - 4х – 2 = х2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.
Ответ: если а < -9, то нет решений;
если а = -9, то одно решение;
если -9 < a < -6, то два решения;
если а = -6 или а = -5, то три решения;
если -6 < а < -5 или а > -5, то четыре решения.
Упражнения
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.
- (х2 – 12а)2 – 24х2 + 32х + 96а = 0;
- (2х2 – а)2 – 24х2 + 16х + 4а = 0;
- (2х2 – а)2 = 13х2 + 6х – 2а = 0.
1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений
На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.
Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.
Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2 = 5 иметь 5 корней?
Решение. Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2. f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Ответ: не может.
Пример 2. При каком значении а уравнение х10 – а|х| + a2 – а = 0 имеет единственное решение?
Решение. Обозначим f(x) = х10 – а|х| + a2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х0 = 0. В этом случае из уравнения получим: a2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,
при а = 0, х10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.
при а = 1, х10 - |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.
Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.
Упражнения
- Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х6 – х4 – ах2 = 1 иметь три корня?
- Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х6 – 2ах4 + 3х2 = 4 иметь пять корней?
- При каком значении а уравнение
имеет единственное решение?
1.5. Метод замены
Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.
Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а2х2,
где а – параметр.
Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида
(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх2 (см. п. 2.5 (3))
Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:
(х2 + 14ах +24а2)( х2 + 11ах +24а2) = 4а2х2
Если а = 0, то х = 0.
Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.
Разделим обе части этого уравнения на а2х2, будем иметь
В полученном уравнении сделаем подстановку 
и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у2 + 25у + 150 = 0, у1 = - 15, у2 = - 10.
Таким образом, получим два уравнения
и 
Решим первое уравнение х2 + 15ах + 24а2 = 0, D = 129a2, х1,2
Решим второе уравнение х2 + 10ах + 24а2 = 0, D = 4a2
х3 = -6а, х4 = -4а
Ответ: если а = 0, то х = 0
если а ≠ 0, то х1,2
, х3 = -6а, х4 = -4а
Упражнения
- Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а2 имеет четыре действительных корня.
- Решить уравнение х4 + а4 – 3ах3 + 3а2х = 0.
- При каких значениях а уравнение (х2 – 2х)2 - (а + 2)(х2 – 2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
- Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а4