Урок геометрии в 11-м классе по теме "Пирамида. Сечение пирамиды плоскостями"

Разделы: Математика


Цели урока:

Образовательная: закрепить изученный материал в ходе решения задач.

Развивающая: способствовать развитию логического и пространственного мышления учащихся.

Воспитательная: решение эстетических задач при построении чертежей и оформлении работы.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование урока:

  1. Переносной компьютер с проктором для демонстрации.
  2. Раздаточный материал для решения задач.

Структура урока:

  1. Организационный момент (2 мин.).
  2. Повторение опорных знаний и решение по готовым чертежам (10 мин.).
  3. Решение задачи (25 мин.).
  4. Подведение итогов, выставление оценок (2 мин.).
  5. Домашнее задание (1 мин.). 

Ход урока.

1. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к уроку. Отмечаются отсутствующие, объявляется тема урока и план урока. (Слайд 1)

2. Проверка домашнего задания. Слайд 2 с элементами анимации

Задача: Через вершину А прямоугольника ABCD проведена плоскость α, параллельная диагонали BD. Построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью прямоугольника ABCD и плоскостью α.

3. Повторение опорных знаний в виде фронтальной беседы.

В тетради записывается число, тема урока.

Ученики отвечают на вопросы

Слайд 3. 1). Способы задания плоскости.

Слайд 4. 2). Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Слайд 5. 3). Теорема о трех перпендикулярах.

Слайд 6. 4). Определение двугранного угла.

5). Сформулировать понятие «Линейный угол двугранного угла».

6). Дать определение угла между прямой и плоскостью.

7). Признак параллельности прямой и плоскости. Слайд 7

 

4. Решение задач.

По готовому чертежу на выданных листах решается задача на нахождение угла между плоскостями. Слайд 8 с элементами анимации с последовательной демонстрацией по щелчку.

Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость α параллельная гипотенузе на расстоянии 1 м от нее. Катеты AC и BC равны соответственно 6 м и 8 м. Найти двугранный угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью α.

Ученики отвечают на вопросы по задаче.

Дано:  - прямоугольный.

С = 90°, С,

AB || α

AC = 6 м,

BC = 8 м,

Найти: DCD1

Решение:

Т.к. треугольник ABC – прямоугольный, то AB = 10 м.

A1B1 – проекция AB на плоскость α.

СD AB, DD1 α, то по т. т. п. D1С A1B1

SABC = , SABC=,

значит DC = , DC =

  .

Ответ: .

 

Задача №1. В пирамиде SABCD через точку А и точку К – середину ребра SC проведена плоскость α, параллельно диагонали BD – основание. Вычислить угол наклона плоскости α к основанию ABCD, если ABCD - прямоугольник со сторонами AB = , BC = а, высота SO пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна . Слайд 9 с элементами анимации.

Решение:

1). Т.к. α || BD, то след секущей плоскости α на плоскости ABCD будет параллелен BD. Проводим l || BD, A l,

DC  l = Х

BC l = Y

Т.к. точки X, Y, K не лежат на одной прямой, то они определяют единственную плоскость (XYK).

2). XY – ребро двугранного угла .

XY || BD – по условию.

Если AFBD, то AF  XY.

Т.к. α|| BD, то MN || BD, EF ||OO1, тогда EF  MN, то по т. т. п. AE  MN.

Значит плоскость (AEF)  BD, а, следовательно, и XY.

Т.о. FAE – линейный угол двугранного угла с ребром XY.

3). Рассмотрим ASC – равнобедренный,

SO  AC, AO = AC, следовательно SO – медиана.

SK = KC – по условию, следовательно AK – медиана.

Тогда O1 – точка пересечения медиан,

т.е. SO1: ОО1 = 2 : 1, значит ОО1 =  ОО1 = .

Т.к. MN || BD, то ОО1 = EF = .

4). Т.к. АС = BD как диагонали прямоугольника ABC, то из ABD – прямоугольного, по теореме Пифагора BD = .

AF  BD

BD ∙ AF = AB ∙ AD

AF = , AF = .

5). Из AEF - прямоугольного

 

Ответ : .

Задача №2. Основанием пирамиды SABC служит равнобедренный треугольник ABC, у которого С = 120°, AC = BC = 12. Высота пирамиды совпадает с боковым ребром SA и двугранный угол с ребром BC равен 30°. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды. Слайд 12 с элементами анимации.

Дано: SABC – пирамида.

SAABC

ACB = 120°

AC = BC = 12

SDA = 30°

Найти: Sполн.

Решение:

Sполн. = SABC + SABS + SACS + SBCS.

1). Т.к. ABC – тупоугольный, то AD – высота треугольника, опущенная на продолжение стороны BC, AD  BC,

SA  ABC – по условию, то по т. т. п. SD  BC, следовательно SDA – линейный угол двугранного угла с ребром BC.

2). Т.к. ABC – равнобедренный,

то ABC = BAC = 30°

3). В ACD – прямоугольном,

AD = AC ∙ sin 60° = , то по свойству катета, лежащего против угла 30°, в ABD гипотенуза АВ = 12.

4). SABC = sin120° = .

5). Из SAD – прямоугольного

SA = 30° = ,

тогда SD = 12 (по свойству катета, лежащего против угла 30°)

SBCS = .

6). ASС – прямоугольный, то

SACS =

7). ABS – прямоугольный

SABS =

8). Sполн. =

Ответ: 108 + 72.

5. Подведение итогов, домашнее задание.

  1. Закончить задачу №2.
  2. В задаче №1 вычислить площадь сечения ANKM.

Презентация.

25.08.2009