Решение олимпиадных задач на делимость чисел

Разделы: Математика


Цель:

  1. Закрепить с учащимися способы решения задач на делимость, предлагаемых на различных олимпиадах, сформировать умение у учащихся проводить простейшие умозаключения.
  2. Воспитание умения работать индивидуально и в группах.
  3. Развитие логического мышления учащихся, умения работать с техническими средствами обучения.

План урока:

  1. Оргмомент
  2. повторение признаков делимости и устная работа
  3. работа групп (игра) ВЫБОР БУКВ, ИЗ КОТОРЫХ СОСТОИТ СЛОВО метод математической индукции
  4. решение задач на ММИ
  5. Закрепление материала
  6. Подведение итогов урока

МАТЕРИАЛЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: Мультимедийный проектор, компьютер, презентация (приложение 1), карточки.

1. Оргмомент: учитель называет тему и цель урока.

2. Повторение материала и устная работа

Несколько человек садятся за компьютер, отвечают на вопросы теста

Вопросы

Ответы

1. Признак делимости на 7 1.У данного числа найдем сумму цифр, стоящих на четных местах, и сумму цифр, стоящих на нечетных местах. Если эти суммы равны или их разность делится на 7, то и само число делится на 7
2. Число делится на 7, когда две его последние цифры делятся на 7
3. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность между числом без последних трех его цифр и числом, образованным последними его тремя цифрами делится на 7

2

Признак делимости на 8 1.Число делится на 8, когда число, образованное тремя его последнии цифрами делится на 8.
2. Число делится на 8, когда две его последние цифры делятся на 8
3. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда разность между числом без последних трех его цифр и числом, образованным последними его тремя цифрами делится на 8
3. Число a чётно. Верно ли, что число 3a делится на 6 1. Неверно
2. Верно
3. Невозможно ответить
4. Сумма двух нечетных чисел- это число 1. Четное
2. Нечетное
3. Зависит от данных чисел
5. Какая из записей разложения по разрядам трехзначного числа верна? 1. 100в+10с+а
2. 100а+10в+с
3. 100с+10а+в

Остальные учащиеся работают за партами, отвечая на вопросы на экране:

· Найди трехзначное число, которое делится на 11, почему

· Найди 2 четных трехзначных числа, которые не делятся на 4 (почему?).

· Найдите число, которое делится одновременно на 3 и 7;

  • Какие числа делятся на 6? (Какие числа делятся на 13)
  • Придумайте нечетное число, которое не делится на 3, но делится на 5 и 11;

После работы, ответившие на компьютере на тест, объясняют свои ответы.

3. Работа по парам (игра) ВЫБОР БУКВ, ИЗ КОТОРЫХ СОСТОИТ СЛОВО, метод математической индукции

да нет да нет да да да да да

10М

11А

12Т

13И

14Ч

15Е

16С

17К

18О

нет да да четное верно нечетное нечетное нет Не всегда

19Й

20И

21Н

22Д

23У

24К

25Ц

26И

27И

четное

является

четное

делится

Не верно

Не всегда

может

четными

делится

Для запутывания
Р В К Т М Г Ж З Б
Не всегда Не является Не всегда Нечет

ное

нет четное нечетное нечетными нет
О С В Л Ш Е Н Ф К
нечет

ное

Не всегда нечет

ное

Не делит

ся

Не всегда нет нет Не всегда Не делит

ся

Каждая группа получает задание, которое решает и выбирает полученный ответ, затем буква ответа записывается на доску в указанный номер.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РАБОТЫ ГРУПП:

ГР1:

1. Ответьте, верно ли, что числа вида делятся на 3
10. Является ли число 123123123123 кратным 9
19 . Если натуральное n– число чётное, каким является число n + 2k + 1?

ГР2:

Число a чётно. Верно ли, что число 3a делится на 4?

11. Верно ли, что произведение трёх любых последовательных натуральных чисел делится на 6.
20. Является ли число 1331 составным?

ГР3:

3. Если число a делится на 3 и b делится на 3, верно ли, что тогда разность a и b делится на 3?
Верно ли, что, сумма кубов трех последовательных чисел делится нацело на 9.
21. Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будут сумма и произведение: двух четных чисел?

ГР4:

4 . Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?
13. Пусть m и n — целые числа. Каким числом является данное произведение? mn(m + n) 
22. Делится ли число, состоящее из 2п единиц на 11?.
3. Сформулируйте с помощью союза “или” утверждение “по крайней мере одно из чисел n, n + 1, n + 2 является чётным”. Истинно ли это предложение?

ГР5:

5. Если a + 2 делится на 5, делится ли 7a + 4 делится на 5?
14. Дано трехзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые, верно ли, что если делится на 7 сумма второй и третьей цифр, то все число делится на 7.
23. Верно ли, что одно из чисел n, n + 1, n + 2 делится на 4”.?

ГР6:

6. Число 15a делится на 6. Верно ли что a тоже делится на 6?
15. Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будет произведение двух нечетных чисел;
24. Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на  на 5?

ГР7:

7. Верно ли, что если сумма любых двух из трёх чисел делится на 3, то и сумма всех трёх чисел делится на 3
16. Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будет сумма четного и нечетного чисел?
25. Может ли сумма трех различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

ГР8:

8. Известно, что a + 15 делится на 5. Делится ли a на 5
17. Сможете ли Вы найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами?
26. Даны пять чисел; сумма любых трёх из них чётна. Какими являются все эти числа?

ГР9:

9. Олег перемножил какие-то 7 подряд идущих чисел. Верно ли, что у него получилось число, оканчивающееся на ровно один ноль?
18. Делится ли произведение любых двух последовательных натуральных чисел на 3
27. Делится ли произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30

4. Решение задач на ММИ:

А) вспомнить, что такое ММИ, зачем его применяют, повторить алгоритм решения задач на ММИ.
Б) решаем задачи, несколько человек по карточкам, остальные в тетрадях, по одному выходят к доске.

1. Докажите, что Сумма кубов трех последовательных чисел делится нацело на 9
2. Докажите, что 4n + 15n - 7 делится на 9
3. Докажите, что 6n + 1 делится на 7 при всех нечётных n.

Дом. работа:

Доказать, что:

  1. 10n + 18n - 28 делится на 27.
  2. 72n - 42n делится на 33.
  3. Доказать сумма четного и нечетного чисел является нечетным числом.

 Презентация

20.06.2009