Элективное занятие по теме "Утверждения о корнях квадратного уравнения" (10-й класс)

Цель: формировать умения формулировать и обосновывать утверждения о корнях квадратного уравнения.

Учебная задача:

• Научить учащихся самостоятельно формулировать утверждения о корнях квадратного уравнения;
• Применять полученные утверждения для решения задач с параметрами.

Развивающие задачи:

• Развивать творческую сторону мышления;
• Учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная задача:

• Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.

Оборудование:

• Персональные компьютеры;
• Презентации для создания проблемной ситуации;
• Презентации для самоконтроля;
• Карточки с заданиями.

Ход урока

1. Информационный ввод.

На предыдущем занятии мы с вами научились использовать теорему Виета для решения задач с параметрами. Сегодня мы посвятим наше занятие исследованию расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметрами. А затем, научимся решать задачи с параметрами с помощью компьютера.

2. Проблема.

Можно ли, не находя корней квадратного уравнения, определить их положение относительно некоторого числа М?

3. Актуализация ЗУН.

Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратных уравнениях.

Кластер (что я знаю о квадратном уравнении?) – слайд 1.

• Парабола;
• Старший коэффициент;
• Вершина параболы;
• Точки пересечения параболы с осью Ох;
• Дискриминант;
• Корни квадратного уравнения;
• Теорема Виета.

Ключ к кластеру.

Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трехчлена?

Ответы:

• Если старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх;
• Если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз;
• Если старший коэффициент квадратного трехчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное;
• Если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках;
• Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс;
• Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс ;
• Абсцисса вершины параболы равна –В/2А.

4. Исследовательская работа в группах.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач можно сформулировать утверждения для каждой конкретной задачи. Для составления таких утверждений нужно не только знание свойств квадратного уравнения, но и умение мыслить одновременно на двух языках - алгебраическом и геометрическом.

КОЗ-1. Проблема.

Можно ли, не находя корней квадратного уравнения, определить их положение относительно некоторого числа М?

Задача: Исследовать различные случаи расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

Задание:

1. Выполнить конкретное задание: при каких значениях параметра р.

2. Составить алгоритм для вашей задачи;
3. Презентация продукта исследования от каждой группы.

Критерии оценки работы в группах:

1. Распределение ролей;
2. Правильность выполнения задания;
3. Умение представить и защитить свою работу.

Задача: Исследовать различные случаи расположения корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

Задание:

1. Выполнить конкретное задание;
2. Составить алгоритм для вашей задачи;
3. Презентация продукта исследования от каждой группы.

Класс делится на 3 группы.

На 2-ом слайде сформулированы задания в общем виде для каждой группы:

При каких значениях параметра р.

 Критерии оценки работы в группах (слайд 3):

1. Распределение ролей;
2. Правильность выполнения задания;
3. Умение представить и защитить свою работу.

Вывод после выполнения КОЗ_1.

Итак, вы научились формулировать утверждения о корнях квадратного уравнения и обосновывать их. А сейчас, представьте общий алгоритм, по которому можно сразу определить расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

Алгоритм (слайд 4)

1. Найти значение Аf(М).
2. Найти D.
3. Решить неравенство D>0.
4. Найти х0=-В/2А.
5. Найти решение системы:

5. Закрепление (КОЗ_2).

Задание: Решите следующие задачи с параметром используя алгоритм.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х² + (а + 1) х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?
При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (2 - а)х² - 3ах + 2а = 0 больше 1/2?
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х²- 6ах + (2 - 2а + 9а²) = 0 больше 3.
Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения х² + 4ах + (1 - 2а + 4а²) = 0 меньше -1.
При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (1 + а) х² - 3ах + 4а = 0 меньше 1.
Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения х² + ах - 1 = 0.

Критерии оценки данного задания:

1. Правильность выполнения задания.
2. Умения применять полученные утверждения при решении задач с параметрами.
3. Умение грамотно представить свою работу, содержащую аргументацию своих действий.

Алгоритм (слайд 4)

1. Найти значение Аf(М).
2. Найти D.
3. Решить неравенство D>0.
4. Найти х0=-В/2А.
5. Найти решение системы:

Ключ.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х² + (а + 1) х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Решение.

Рассмотрим функцию f(x) =х²+(а+1)х + 3.

f(2) < 0;
f(2) = 4 + 2a + 2 + 3 = 2а + 9 < 0;
2а < -9;
а < -4,5.

Ответ: а (-;-4.5).

При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (2 - а)х² - 3ах + 2а = 0 больше 1/2?

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = (2 - а) х² - 3ах + 2а

Решений нет.

Ответ: решений нет.

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х² - бах + (2 - 2а + 9а²) = 0 больше 3.

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = х² - бах + (2 - 2а + 9а²) = 0.

Решаем первое неравенство системы: D = 400 - 36 - 11=4.

Ответ:

Найти все значения параметра а, у которых оба корня квадратного уравнения х² + 4ах + (1 - 2а + 4а²) = 0 меньше -1.

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = х² + 4ах + (1 - 2а + 4а²).

Решаем первое неравенство системы: D = 9 - 8 = 1.

Ответ:

При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (1 + а)x ² - 3ах + 4а = 0 меньше 1?

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = (1 + а)х² - 3ах + 4а - 0.

Решений нет.

Ответ: решений нет.

Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения х2 + ах - 1 = 0.

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = х² + ах - 1.

f(3) < 0;

9 + 3а - 1 = 8 + 3а < 0; 3а < -8;

Ответ:

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (слайд 5)

Решите следующие задачи с параметром.

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х² + {а + 1 )х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?
При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (2 - а)х² - 3ах + 2а = 0 больше 1/2?
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х²- 6ах + (2 - 2а + 9а²) = 0 больше 3.
Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения х² + 4ах + (1 - 2а + 4а²) = 0 меньше -1.
При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения (1 + а) х² - 3ах + 4а = 0 меньше 1.
Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения х² + ах - 1 = 0.

6. Итоги урока.

Вопросы:

1) Какую задачу решили на занятиях?
2) При каких значениях параметра р.

• Оба корня квадратного уравнения больше заданного числа М (х₁,х₂>М)?
• Оба корня квадратного уравнения меньше заданного числа М (х1,х2<М)?
• Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения (х₁ <М < х₂)?

Слайд 6

7. Домашнее задание.

Придумать для каждого случая по 2 примера и решить их.