День Архимеда

Разделы: Математика, Внеклассная работа


Цели:

  • Развивать и укреплять интерес к математике, истории ее развития, мотивировать познавательную деятельность, развивать любознательность.
  • Расширять математический кругозор учащихся.
  • Прививать навыки самостоятельного поиска новых знаний.
  • Содействовать развитию культуры коллективного труда.

Оборудование:

  1. портреты Архимеда, плакат со значением числа p , плакат с цитатами - “Эврика!”, “Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!”, “Не трогай моих чертежей!”, “Бессмысленно воевать с геометрией”, рисунки метательных машин, чертежи многоугольников вписанных и описанных около окружности, спиралей, цилиндра и вписанного в него шара (примеры: <Рисунок1>, <Рисунок2>, <Рисунок3>, <Рисунок4>, <Рисунок5>, <Рисунок6>, <Рисунок7>, <Рисунок8>, <Рисунок9>);
  2. (ноутбук, проектор, цифровая доска, презентация) или (маркерная доска, маркер, губка).

Спектакль.

На сцене учащиеся что-то учат, бубнят (чередуется одновременное проговаривание всеми учениками и каждым в отдельности):

  • Отношение длины окружности к диаметру…
  • Сумма первых n-первых членов геометрической прогрессии …
  • Сумма бесконечной геометрической прогрессии …
  • Длина дуги …
  • n-ный член арифметической прогрессии …

За отдельным столом первоклассник “колдует” над непонятным аппаратом. Внезапно загораются несколько лампочек, постепенно горящих лампочек становится больше. Слышится (отредактированная) песня из кинофильма “Иван Васильевич меняет профессию”:

Планета крутится круглая, круглая.
Летит планета вдаль сквозь суматоху дней.
Звенит январская вьюга, и ливни хлещут упруго,
И звезды мчатся по кругу, и шумят города …

Первоклассник:

- Ну что ж, придется повысить напряжение… Опасно? Но как говорится, риск дело … - загораются все лампочки, они начинают мигать. Внезапно загорается прожектор (включение прожектора совпадает со взрывом, записанным из кинофильма “Иван Васильевич меняет профессию”) и тот час же все выключается.

В это время на сцену выходят Архимед и горожанин. Учащиеся удивленно рассматривают незнакомцев. Архимед проходит по сцене, останавливается и начинает что-то чертить.

Горожанин:

  • Эй, что ты там чертишь?

Архимед:

  • Вычисляю. Знаете ли вы, что если найти точку опоры, можно перевернуть земной шар?

Горожанин:

  • Перевернуть земной шар? Ого, в этой мыслишке что-то есть!

Учащиеся визжат.

Первоклассник:

  • Ребята, выслушайте меня, только, умоляю вас, спокойно. Помните, я говорил вам о машине времени? Так вот сегодня мне этот опыт удался. Это - настоящий Архимед! – подходит к Архимеду и провожает его к креслу.

1 ученик:

  • Да, да, это Архимед – древнегреческий ученый. Об Архимеде известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего, достоверен год его смерти – год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата. До наших времен дошли сведения о чудесных изобретениях ученого. Известна история о золотом венце царя. Чистоту его состава Архимед проверил при помощи найденного им закона выталкивающей силы.

2 ученик:

  • Другая легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек мог спустить на воду огромный корабль “Сиракусия”. Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: “Дайте мне точку опоры, и я поверну землю”. Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился при осаде Сиракуз.

3 ученик:

До нас за очень много лет
В трудный год родные Сиракузы
Защищал ученый Архимед.
Многие орудья обороны
Были сконструированы им,
Долго бился город непреклонный,
Мудростью ученого храним.

Первоклассник:

  • Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами, в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал поджигали корабли. В “Истории Марцелла” Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов: “Как только они замечали, что из-за крепостной стены показывается веревка или бревно, они обращались в бегство с криком, что вот Архимед еще выдумал новую машину на их погибель”.

Архимед (задумчиво):

  • Огромен мой вклад и в развитие математики.

2 ученик:

  • Теоретическими изысканиями в математике Архимед стал заниматься довольно поздно – в возрасте свыше 40 лет. Все его математические работы поражают сочетанием оригинальной мысли, мастерской техникой вычислений и строгостью доказательств. Обилие вычислений отличает его труды от творческих работ других греческих математиков, что сближает его с математиками Востока. Архимед развил методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. Его математические работы намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчисления.

Архимед:

  • Много лет я посвятил исследованию различных линий, и особое место среди них занимали спирали. Спирали – плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали.

3 ученик:

  • И впоследствии она была названа спиралью Архимеда. К ней он строил касательную и находил площадь ее витка. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками, каждое из них равно 2p a . По спирали Архимеда идет, например, звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса. Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

4 ученик подходит к спирали, изображенной на фанерном диске, вращает диск и читает стихотворение “Спираль Архимеда”:

Для того, чтоб все значенье Архимедовой спирали,
Кривизну и измеренье мы доподлинно узнали,
Соберемся тесным кругом, сговоримся все друг с другом,
И споем мы хоровую про спиральную кривую.
Диск вокруг себя вращаем, темп все больше ускоряем,
Все скорее, все быстрее,
К центру шибко, бойко, гибко!
Вот так встряска! Словно пляска!
Эй, галоп!.. Центр – стоп.

При вращении диска в одном направлении спираль закручивается, при вращении в другом – раскручивается. Спираль словно оживает.

Архимед задумчиво:

  • Я вычислил с большой точностью отношение длины окружности к ее диаметру.

5 ученик (выполняя записи на доске):

  • Вопрос о вычислении отношения длины окружности к своему диаметру, т.е. числа p , занимал лучшие умы человечества на протяжении тысячелетий, а первое вычисление p на основе строгих теоретических рассуждений было предпринято Архимедом. В своем произведении “Измерение круга”, желая выразить отношение длины окружности к своему диаметру, он заключил окружность между вписанным и описанным около нее шестиугольниками, затем, удваивая число сторон этих многоугольников, сближал их с окружностью. Для нахождения длины сторон избранного им описанного шестиугольника он взял приближенное значение . В тексте работы совершенно без пояснения он берет значение этого корня, которое в современной записи выглядит так: . Используя взятое значение корня из трех, Архимед определяет через радиус длину стороны правильного шестиугольника (описанного, а также и вписанного). Затем, последовательно удваивая число сторон, находит длины сторон двенадцатиугольников, дальше – длины сторон многоугольников с 24, 48 и, наконец, 96 углами. В результате он получил следующее выражение: . Арифметическое среднее значение верхней и нижней границ дает 3,1419.

1 ученик:

  • Истинное значение этого числа 3,14159…, т.е. неточность, какая получилась в расчетах Архимеда, допущена лишь в четвертом десятичном знаке. Выведенное Архимедом для приближенное значение

оказалось вполне удовлетворительным для практики. На это значение ссылаются Герон Александрийский, Папп, Прокл и другие ученые. Оно широко применяется и в настоящее время. Созданный Архимедом метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении почти 2000 лет.

2 ученик:

- Вычисление большого числа знаков для не имеет практического значения, однако многие ученые стараются найти для значение, превосходящие по точности ранее известные. В своей книге “Об измерении окружности” (1424) ал-Каши, рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 800 335 168 сторонами, получает в результате для p 16 верных десятичных знаков. В 1597 г. А. Ван Ромен из Лувена (Бельгия), применяя метод Архимеда с помощью 230-угольников, получил 17 верных десятичных знаков. Большое терпение и выдержку обнаружил голландский вычислитель Лудольф ван-Цейлен (1540-1610), который применяя метод Архимеда, дошел до многоугольников с 60·2029 степени сторонами, получив 35 верных десятичных знаков для p . В его честь число было названо современниками “Лудольфово число”, на его надгробном камне было высечено найденное им значение .

3 ученик:

- Начиная с конца XVII в. для вычисления применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил с точностью до 153 верных десятичных знаков. После опубликования его работы (1736) стало общепринятым обозначение (первая буква в греческом слове “периферия” - круг), которое встречается впервые в 1706 г. у английского математика У. Джонса. В 1873 г. англичанин В. Шенкс определил p с точностью до 707 десятичных знаков, усердно проработав для этой цели целых 15 лет. Однако, как выяснилось впоследствии, 527-й знак Шенкса оказался неверным. Ошибка была обнаружена Фергюссоном и Ренчем, которые в 1948 г. получили значение с 808 знаками. С помощью электронных машин в 1949 г. получено значение с 2035 знаками, а позднее – с 3089 знаками всего лишь за 13 с. К 1963 г. было найдено уже 100265 десятичных знаков числа .

4 ученик (подходя к плакату со значением числа ):

- В настоящее время с помощью ЭВМ число “пи” вычислено с точностью более пятисот тысяч знаков, причем эти вычисления продолжались только несколько часов. Вычисление такого большого числа знаков для p не имеет практического значения, а показывает лишь огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104…

Архимед продолжает:

  • Я вычислял площадь круга…

5 ученик:

  • Вначале Архимед вписывал в круг шестиугольник, затем на каждой стороне построил равнобедренный треугольник – получался двенадцатиугольник. Постепенно удваивая число сторон, Архимед получил 24-угольник, 48-угольник и, наконец, 96-угольник. Построенные многоугольники все более и более покрывали собой площадь круга, как бы постепенно “исчерпывая” ее. Между прочим, этот метод нахождения площади круга до сих пор, через 2200 лет после смерти Архимеда, излагается в современных школьных учебниках геометрии.

Архимед:

  • В ходе своих исследований нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда…

1 ученик, быстро записывает на доске маркером (либо подготовленная презентация и записи на интерактивной доске):

  • Еще в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
    1. 1+2+3+…+n=;
    2. 2+4+6+…+2n=n(n+1);
    3. 1+3+6+…+(2n+1)=(n+1)2 и др.

В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:

1, 2, 3, 4, 5, …

10, 102, 103, 104, 105, …

и указывает на связь между ними, например:

103? 105=103+5=108,

т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

2 ученик, продолжая запись:

  • Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении “Квадратура параболы”, сводится к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

3 ученик, продолжая запись:

  • Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него:

.

4 ученик:

  • В “Науке о числах” (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и дает общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Архимед:

  • Потомки! Во многом вы преуспели, - и с грустью продолжает – мой вклад в математику был бы гораздо больше, но…

5 ученик:

  • Много месяцев римляне стояли у стен Сиракуз и так бы не взяли город, если бы не праздник богини Артемиды, который осажденные отметили слишком усердно. Ночью штурмовой отряд римлян бесшумно поднялся на стены, перебил уснувшую стражу и ворвался в город. Озлобленные солдаты крушили и жгли все подряд. Говорят, даже Марцелл плакал, видя, как гибнет красивейший город, но остановить свои разъяренные войска он не мог. Он только просил не трогать Архимеда, у которого хотел узнать тайну его необычных машин. Но …

1 ученик:

Законы воинского счастья
До сих пор никем не учтены,
И втекают вражеские части
В темные пробоины стены.
Замыслом неведомым охвачен,
Он не знал, что в городе враги,
Он чертил задумчивый, не гордый,
Позабыв текущие дела, -
И внезапно непонятной хордой
Тень копья чертеж пересекла.

Появляются римляне и направляются к Архимеду. Навстречу воинам идет горожанин:

  • Не троньте, не троньте его кругов!

2 ученик: - Один из пришлых римлян врагов с ученым вступает в беседу:

  • Что толку в расчетах твоих, старик? – легат вопрошает с улыбкой. - Ты строишь расчеты свои на песке, на почве особенно зыбкой!

3 ученик:

Но убийц спокойствием пугая,
Он, не унижаясь, не дрожа,
Руку протянул, оберегая
Не себя, а знаки чертежа.

Архимед:

  • Солдат, Вы меня извините, но мудрость жива и в сыпучих песках, а глупость мертва и в граните.

Римлянин поднимает копье.

4 ученик:

Он в глаза солдатам глянул смело.

Архимед:

Убивайте, римляне – враги!
Убивайте раз такое дело,
Но не наступайте на круги!

Римлянин:

  • Старик, я вижу, ты - мастер красивых слов,

4 ученик:

- сказал и убил Архимеда.

Архимед падает. В это время загораются лампочки на “машине времени”, звучит музыка. Часть сцены, где остался Архимед, закрывается занавесом. Постепенно гаснут лампочки.

5 ученик:

- Солдату и в голову не пришло, что перед ним сам Архимед, и он убил ученого.

1 ученик:

Прошла столетий вереница,
Научный подвиг не забыт,
Никто не знает, кто убийца,
Но знают все, кто был убит…

2 ученик:

- В IXI-X веках работы Архимеда переводились на арабский язык, с XIII века они появляются в Западной Европе в латинском переводе. С XVI века начинают выходить печатные издания Архимеда, в XVII-XIX веках они переводятся на новые языки. Первое издание трудов Архимеда на русском языке относится к 1823 году.

3 ученик:

  • Центральной темой математических работ Архимеда являются задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов. Решение многих задач этого типа Архимед первоначально нашел, применяя механические соображения, по существу сводящиеся к методу неделимых, а затем строго доказал методом исчерпывания, который он значительно развил. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашел площадь поверхности конуса и шара, объем шара и сферического сегмента, а также объемы различных тел вращения и их сегментов.

4 ученик:

  • Архимед нашел, что объемы цилиндра и вписанного в него шара относятся как 3 к 2. Этот результат ученый считал настолько важным, что завещал отобразить его на своей могильной плите.

5 ученик:

  • Спустя почти две сотни лет знаменитый римский оратор Цицерон стал управителем острова Сицилия. Прогуливаясь по заброшенной местности, он нашел среди кустарников надгробие с изображением шара, вписанного в цилиндр. Это была могила Архимеда. Сограждане похоронили его так, как он просил. О могиле потом забыли.

1 ученик:

  • Но законы геометрии и физики, открытые им, навсегда остались в науке, как осталась в истории и слава мужественного защитника города.

Литература.

  1. Математический энциклопедический словарь, гл. редактор Ю.В. Прохоров, Москва, “Советская энциклопедия”, 1988 г.
  2. Школьная энциклопедия МАТЕМАТИКА, гл. редактор С.М. Никольский, Москва, Научное издательство “Большая Российская Энциклопедия”, 1996 г.
  3. Г.И. Глейзер “История математики в школе VII-VIII класс”, Москва, “Просвещение”, 1982 г.
  4. Энциклопедия школьника “Всемирная история в лицах. Древний мир”, Москва, “Олма-Пресс”, 1999г.
  5. Журналы “Математика в школе”, 1995 г.

15.04.2010