1. Уравнение вида Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 (1), где an,an-1, … , a0 – заданные числа, а x – неизвестное, называется рациональным уравнением.
Основные методы решения уравнений вида (1) высших степеней (n ≥ 3) – разложение на множители и замена переменной.
2. Разложить левую часть уравнения Pn(x) = 0 - это, значит, представить его в виде произведения двух или нескольких множителей.
а) Вынесение общего множителя.
Пример:
| x3 - 3x2 + 4x = 0 x(x2 - 3x + 4) = 0 |
||
| x = 0 | x2 - 3x + 4 = 0 Решений нет, так как D > 0 |
Ответ: 0.
б) Выделение полного квадрата.
Пример:
Данное биквадратное уравнение можно было бы также решить подстановкой x2 = t ≥ 0.
3. Группировка
Применяется в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя.
Пример:
Ответ: -1; 2; -2.
4. Подбор корня по старшему и свободному коэффициенту
При решении уравнений высших степеней вида (1) рациональные корни уравнений Pn(x) = 0 ищем в виде (p / q), где p – делитель a0, q – делитель an, p и q взаимно просты, p ∊ Z, q ∊ N.
Применяем теорему Безу:
Если число α является корнем многочлена Pn(x) из (1), имеющего степень n, то этот многочлен можно представить в виде Pn(x) = (x - α) • Q(x), где Q(x) - частное от деления P(x) на (x - α), многочлен степени n-1.
Пример:
x3 - x2 - 8x + 6 = 0
Ищем корень среди делителей числа 6, т.к. an = a3 = 1: ±1; ±2; ±3; ±6.
Находим x = 3. Выполняя деление уголком, разложим данный многочлен на множители. Тогда x3 - x2 - 8x + 6 = (x - 3)(x2 + 2x - 2) = 0.
x1 = 3
x2, 3 = 
Ответ: 3; .
5. Введение новой переменной
Находим в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначаем новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения.
В некоторых уравнениях «удобную» подстановку желательно знать заранее.
Рассмотрим несколько случаев:
5.1. Однородное уравнение
Ay2n + Bynzn + Cz2n = 0, где A, B, C – числа, отличные от нуля, n ∊N, y = y(x) и z = z(x) – некоторые функции от x.
- Возможен случай
- Делим обе части уравнения на Z2n ≠ 0, получаем квадратное уравнение относительно t, где t = (y / z)n.
At2 + Bt + C = 0
Пример:
3(x2 - x + 1)2 - 5(x + 1)(x2 - x + 1) - 2(x + 1)2 = 0
Разделим обе части уравнения на (x2 - x + 1) ≠ 0
5.2. Симметричное уравнение (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны)
a0xn + a1xn-1 + … + a1x + a0 = 0
| Если n – четное, то подстановка |  |
; |t| ≥ 1. |
Если n – нечетное, то x = -1 – всегда корень уравнения.
Примеры:
5.3. Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c, где a, b, c - действительные числа.
Cводится к биквадратному, если сделать подстановку 
Пример:
(x - 1)4 + (x + 3)4 = 82
Пусть , тогда x = t - 1.
(t - 2)4 + (t + 2)4 = 82
Применяем формулу (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (полезно вспомнить бином Ньютона), получаем:
2t4 + 48t2 + 2 •16 = 82
t4 + 24t2 - 25 = 0
| t2 = -25 | t2 = 1 | |
| Решений нет | t = ±1 |
Находим x = t - 1
| при t = 1 | при t = -1 | |
| x = 1 - 1 | x = -1 - 1 | |
| x = 0 | x = -2 |
Ответ: 0; -2.
5.4. Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l
Сводится к квадратному, если a + b = c + d.
Пример:
5.5. Уравнения вида (ax2 + bx + c)(ax2 + dx + c) = Ax2, где c ≠ 0, A ≠ 0
Сводится к квадратному следующим образом:
- Разделим на x2 ≠ 0 обе части уравнения:
- Делаем замену
, получаем квадратное уравнение (t + b)(t + d) - A = 0, из которого находим t, а затем x.
Пример:
Ответ: -1; -2.
5.6.Уравнение вида (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)= Ax2, где a, b, c, d и A такие, что a • b = c • d ≠ 0
Сводится к квадратному; надо перемножить скобки, содержащие a и b, затем перемножить скобки, содержащие с и d, разделить обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, сделав подстановку, можно свести к квадратному уравнению.
Пример:
5.7. Иногда полезно использовать основное свойство дроби, т.е. поделить числитель и знаменатель на x≠ 0 и затем вводить подстановку.
Уравнение вида 
можно упростить, разделив числитель и знаменатель дроби на x≠ 0.
Пример:
x = 0 - решением не является, поэтому поделим на x≠ 0:
5.8. Использование формулы a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
Пример:
5.9. При решении уравнений можно использовать свойства входящих в них функций, а именно, использовать ОДЗ, ограниченность функции на некотором множестве, свойства монотонности.
Более подробно на сайте https://urok.1sept.ru/articles/313979/ (Митрохина О.Н. Тема урока: "Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций". 11-й класс (2005 / 2006 учебный год).
Список литературы
- Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре // М.: Просвещение, 1997.
- Кравцев С.В., Макаров Ю.Н. Методы решения задач по алгебре для школьников и абитуриентов // М.: «Экзамен», 2003.
- Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер //М.: «Илекса», 2003.
- Олехник С.Н. Алгебра и начала анализа //М.: Экзамен, 2003.
- Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике // М.: Айрис Пресс Рольф, 1999.