Урок обобщающего повторения по теме "Производная и её применение"

Разделы: Математика

Цели:

  1. Повторение теоретических сведений по теме « Производная функции и ее применения».
  2. Систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме « Производная и ее применение».
  3. Организация работы учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель сообщает учащимся цели и задачи урока.

II. Устная работа (15 минут)

  1. Что называется f ' (x0)?
  2. Таблица производных элементарных функций (формула, задающая функцию, показывается на карточке, а учащиеся называют производную этой функции; можно применить мультимедийную установку ).
  3. Правила дифференцирования.
  4. Найти f ' (x), если
  5. Найти f ' (x0), если
  6. Геометрический смысл f ' (x)?
  7. Достаточное условие экстремума функции.
  8. Достаточное условие монотонности функции.
  9. На рисунке изображен график функции y = f ' (x).

    а) При каком x f ' (x) = 0? Чем являются найденные x для y = f (x)?
    б) При каком x f ' (x) > 0? f ' (x) < 0 ? (прямо на рисунке проставлять знаки «+» и «-» в указанных промежутках). О чём это говорит для функции y = f(x)?

III. Решение задач

Предложенные ниже задачи решаются у доски, записываются в тетрадях, обсуждаются всем классом. В ходе их выполнения необходимо вспомнить алгоритмы решения задач по теме « Применение производной».

№1

Функция задана формулой f (x) = 5x - x5. Найдите:

а) Угловой коэффициент касательной , проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 = 2. (Ответ: - 75)

б) Тангенс угла наклона касательной , проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 = - 3 / 5. (Ответ: )

в) Точку графика этой функции , в которой касательная к нему параллельна прямой у = 5х + 8. (Ответ: А (0; 0))

г) Промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции. (Ответ: f (x) убывает на промежутках (-∞; -1],[1; +∞), f (x) возрастает на промежутке [-1;1], xmin = -1, ymin = -4, xmax = 1, ymax = 4)

IV. Индивидуальная работа

Группа наиболее слабоуспевающих по алгебре и началам анализа учеников получает индивидуальные задания (см. Приложение №1).

В это время с остальными учащимися решается задание уровня В ЕГЭ.

V. Решение задач

№ 1

На рисунке изображен график производной функции y = f (x). Найдите:

а) Количество критических точек функции y = f (x). (Ответ: 3)

б) Количество точек максимума функции y = f (x). (Ответ: 1)

в) Наибольшую точку минимума функции y = f (x). (Ответ: 8)

г) Число касательных к графику функции y = f (x), которые наклонены к положительной полуоси Ox под углом 45°. (Ответ: 2)

д) Абсциссу точки графика функции y = f (x), в которой касательная к нему имеет наименьший угловой коэффициент. (Ответ: 6)

е) Длину промежутка возрастания функции (или общую длину, если их несколько). (Ответ: 2 + 1 = 3)

После этого задания группа учащихся, не претендующих на высокие баллы, получает тестовые задания для самостоятельного решения (см. Приложение №2).

Оставшиеся работают над следующими заданиями.

№ 2

Найдите наибольшее значение функции f (x) = 8(x + 5)2 - (x + 5)3 при |x + 5| ≤1.

Решение:

1) |x + 5| ≤ 1, -1 ≤ x + 5 ≤ 1, -6 ≤ x ≤ -4. Т.о., надо найти наибольшее значение функции f (x) на [-6; -4].

2) f ' (x) = 8 ∙ 2(x + 5) - 3(x + 5)2 = 16(x + 5) - 3(x + 5)2 = (x + 5)(16 - 3x - 15) = (x + 5)(1 - 3x).

3) Критические точки: D(f ') = R, f ' (x) = 0, если (x + 5)(1 - 3x) = 0, x = -5 или x = 1 / 3.

-5 ∈ [-6; -4], 1 / 3 ∉ [-6; -4].

4) f(-5) = 8(-5 + 5)2 - (-5 + 5)3 = 0; f(-6) = 8(-6 + 5)2 - (-6 + 5)3 = 9; f(-4) = 8(-4 + 5)2 - (-4 + 5)3 = 7.

9 – наибольшее значение функции y = f (x) на [-6; -4].

Ответ: 9.

№ 3

Найдите значение функции y= f(x) в точке максимума, если

Решение:

f(x) = 3x5 + 5x3 - 30x + 1, где x ∈(-3; 2).

3) f ' (x) = 15x4 + 15x2 - 30.

Критические точки: D(f ') = R, f ' (x) = 0, если 15x4 + 15x2 - 30 = 0, x4 + x2 - 2 = 0, x1 = -1, x2 = 1.

-1 ∈ D(f ), 1 ∈ D(f ).

4)

x (-3; -1) -1 (-1; 1) 1 (1; 2)
f ' (x) + 0 - 0 +

f(x) возрастает на (-3; -1] и на [1; 2), а на [-1; 1] убывает. xmin = 1, xmax = -1.

5) f(xmax) = f(-1) = 3(-1)5 + 5(-1)3 - 30(-1) + 1 = 23.

Ответ: 23.

№ 4 (самостоятельно)

Один ученик записывает решение на доске, остальные – в тетрадях, после чего сверяем, проверяем, редактируем. (Это задание для более подготовленных учащихся).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 15(3x - 6)4 - (3x - 6)5 при |x - 2| ≤1. (Ответ: 0; 1.458)

(В это время проверяется работа учащихся первой и второй групп, даются эталонные ответы, выставляются оценки)

На завершающем этапе урока решается следующее задание:

Решение:

1) Если x ∈ [0; π], то 0 ≤ sin x ≤ 1, -1 ≤ sin x ≤ 0, 0 ≤ 1 - sin x ≤ 1.

2) f ' (x) = 3x2 + 2x - 1. Критические точки: D(f ') = R, f ' (x) = 0 при x = -1 и x = 1 / 3. Но -1 ∉ [0; π], а 1 / 3 ∈ [0; π].

VI. Итог урока

Домашнее задание: тренировочный вариант ЕГЭ.