Урок алгебры в 9-м классе по теме "Уравнения, приводимые к квадратным"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • рассмотреть способы решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям;
  • формировать навык решения уравнений с помощью введения вспомогательной переменной;
  • развивать память, логическое мышление.

Ход урока

I. Организационный момент.

– Сегодня мы будем решать уравнения третьей и четвёртой степеней.

В решение таких уравнений большой вклад внесли итальянские математики XVI в.( историческая справка)

Слайд 1 Презентации

  • Cпицион Даль Ферро[1465-1526] и его ученик Фиори.
  • Н. Татталья [ок.1499-1557]
  • Дж.Кардано [1501-1576] и его ученик Л. Феррари.
  • Р. Бомбели [ок.1530-1572].

12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за 2 часа решил 30 задач, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одной.

Итак, Тарталья за 2 часа решил 30 задач. Сколько уравнений сможете решить вы? Какие способы решения уравнений при этом изберёте?

II. Устная работа.

Слайды 2-3

  1. Какие из чисел: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнений:
    а) у³– у = 0;
    б) у³ – 4у² = 0;
    в) у³ + 9у = 0.
  2. Сколько решений может иметь уравнение третьей степени?
  3. Как проверить, является ли число корнем уравнения?
  4. Каким способом вы решали бы уравнения первого задания?
  5. Проверьте решение уравнения:
    x³ – 5x² + 16x – 80 = 0
    x² (x - 5) + 16 (x - 5)= 0
    (x - 5)(x² + 16) = 0
    (x - 5)(x - 4)(x + 4) = 0
    Ответ: 5; -4; 4.

– Итак, мы повторили, что называется корнем уравнения, нашли ошибку в решении уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением на множители.

III. Практическая часть урока.

Слайд 4.

1) Решить уравнение (комментируют учащиеся с места).

9х³ - 18х² - x + 2 = 0
(9х³ – 18х²) + (-x + 2) = 0
9х²(x - 2) – (x - 2) = 0
(x - 2)(9х²- 1) = 0
x – 2 = 0 или 9х² – 1 = 0
x = 2 9х² = 1
x1= - 1/3
x2 = 1/3
 

Ответ: -1/3; 1/3; 2.

2) Решение уравнения оформляется на доске

x³ - x² – 4(x – 1)² = 0.

3) Слайд 5.

Решите уравнение:

Приём решения уравнения учитель обсуждает, привлекая учеников.

(х² + 2х)² - 2(х² + 2х) – 3 = 0

Пусть х² + 2х = t. Получим квадратное уравнение с переменной t.

t² – 2t – 3 = 0
Д = (- 2)² - 4* 1*(-3) = 16
t = - 1; t = 3
х² + 2х = -1
х² + 2х + 1 = 0
Д = 0
х = -1 		х² + 2х = 3
х² + 2х – 3 = 0
Д = 16
х = -3 х =1

Ответ: -3; -1; 1. 

Итак, уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить, введя новую переменную.

4) Решите уравнение:

(х² – x + 1)(x – x – 7) = 65.

– Какой степени это уравнение?

– Какой способ решения наиболее рационально здесь использовать?

– Из каких трёх этапов состоит данный способ решения?

– Какую новую переменную следует ввести?

(t + 1)(t – 7) = 65.

Далее решение проводится самостоятельно.

Решение проверяется.

5) Работа в парах.

слайд 6.

(2x² + x – 1)(2x² + x – 4) + 2 = 0

Пусть t = 2x² + x , получим уравнение

(t – 1)(t – 4) + 2 = 0
t² – 5t + 6 = 0
t1 = 3; t2 = 2.

Имеем:

2x² + x – 3 = 0;
x1 =1; x2 = - 1,5; 		2x² + x – 2 = 0;
D = 1 + 16 = 17;
x3 = (-1 + √17):4;
x4 = (-1 - √17):4.

Ответ: 1; -1,5; (-1 + √17):4; (-1 - √17):4.

6) Решение уравнения итальянских математиков:

(3x² + x – 4) + 3x² + x = 4 .

Это уравнение учитель предлагает учащимся решить самостоятельно.

IV. Домашнее задание:

п. 11, № 221(а, в), №5, №227.

V. Итог урока.