Урок по теме "Исследование квадратного трехчлена"

Цели:

• формирование понятия уравнение с параметрами;
• развитие навыков решения квадратных уравнений;
• умений применять графические представления при решении уравнений с параметрами;
• обобщение и систематизация знаний о квадратичной функции;
• воспитание точности, корректности, логичности в мышлении;
• развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческой активности.

Психологическая установка учащимся:

1. Продолжаем отрабатывать навыки решения квадратных уравнений; продолжаем учиться решать уравнения, применяя различные подходы; формируем математическую интуицию, которая поможет ориентироваться в выборе способа решения.
2. На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.
3. Дать самому себе установку: “понять и быть первым, который увидит ход решения”.

1. Актуализация знаний и постановка проблемы.
2. Изучение нового материала.
3. Первичное закрепление знаний.
4. Закрепление материала п.15.
5. Итог урока.
6. Домашнее задание.

Задачи с параметрами традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приёмов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Кроме того, задачи с параметрами обладают высокой диагностической и прогностической ценностью, поэтому они стали неотъемлемой частью как выпускных, так и вступительных экзаменов. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. Начинать формировать умение решать задачи с параметром лучше всего именно на квадратном трёхчлене. На решение таких заданий отводится 2 урока.

Принято выделять четыре основных подхода к изучению квадратного трёхчлена:

• метод выделения полного квадрата;
• нахождение корней квадратного трёхчлена с последующей работой с полученными корнями;
• использование теоремы Виета;
• использование графических представлений о квадратном трёхчлене.

Естественно, что при решении конкретных задач не исключается одновременное использование нескольких подходов.

2. Изучение нового материала.

В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины позволяют выделить определённый элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же ряда. В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход и форму ответа. Интересная часть решения задачи – выявить, как зависит ответ от параметра.

С параметрами мы встречались, когда вводили понятия:

• Функция прямая пропорциональность: y=kx (x и y – переменные, k-параметр, k не равно 0);
• Линейная функция: y=kx +b (х и у-переменные, k и b- параметры);
• Линейное уравнение: ах+b=0 (х-переменная, а и b-параметры);
• Уравнение первой степени: ах+b=0 (х-переменная, а и b-параметры, а не равно 0);
• Квадратное уравнение: ах²+bх+с=0 (х- переменная, а,b и с-параметры, а не равно 0).

Определение. Пусть дано равенство с переменными х и а f(х;а)=0. если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(х;а)=0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Под областью определения уравнения   f(х;а)=0 с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f(х;а) имеет смысл.

Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а – значит для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых  f(х;а) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Многочлен ax²+bx+c, где а - не равно 0, а, b, с – действительные числа, называют квадратным трёхчленом.

Уравнение вида ах²+bх+с=0, где а - не равно 0, а, b, с – действительные числа, называют квадратным.

(Прочитать самостоятельно п. 15 ученого пособия, затем, опираясь на приведённые примеры приступим к решению уравнений. Важно обратить внимание учащихся на то, что графические мотивы в решении задач с параметром на квадратный трёхчлен играют ведущую роль и почаще искать соответствующую графическую иллюстрацию)

3. Первичное закрепление знаний.

Рассмотрим несколько уравнений вместе и найдём способы их решения:

1) При каком а уравнение (а+5)х²+(2а-3)х+а-10=0 имеет два различных отрицательных корня?

Ход решения уравнения:

- При любых ли значениях а уравнение является квадратным?

- Выделить условия, при которых корни уравнения отрицательны.

- Решить получившуюся систему неравенств.

2) При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения

х² +2(а-1)х+а² =0 является наименьшей? Чему она равна?

Ход решения уравнения:

- При любых ли значениях а уравнение является квадратным?

- Выделить условия, удовлетворяющие заданию.

- Построим график и отметим, выделенные нами условия.

4. Закрепление нового материала.

Работая в группах по 4 человека, учащиеся выполняют № 225; 230 (1); 232. (Группы определены заранее так, что в каждой есть ученик-консультант). Группы предлагают свои решения, обосновывают их. Задание, вызвавшие наибольшее затруднение (№ 232), рассматриваем фронтально.

1. Какое уравнение называется уравнением с параметром?

2. Какие уравнения с параметрами вы знаете?

3. Каковы основные этапы решения квадратных уравнений с параметром?

П. 15. №231; 230 (2).

1. Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина “Алгебра 9” учебник для общеобразовательных учреждений, Рекомендовано Министерством образования РФ, Дрофа 2006.
2. Г.К.Муравин, О.В. Муравина “Алгебра 9”, Методические рекомендации к учебнику Г.К.Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной, “Алгебра 9”, Дрофа 2007.
3. А.Ж. Жафяров “Математика ЕГЭ”, экспресс-консультация, Новосибирск 2009.