Цели урока:
- составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной;
- отработать навыки нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной.
Оборудование: компьютер для просмотра презентации, мультимедиа проектор, экран.
Ход урока
1. Разбор домашней работы: № 545 (в, г), № 555 (в, г) из учебника под редакцией А.Н.Колмогорова.
2. Повторение пройденного материала.
Ответить на вопросы по графику функции (В8 № 6913, в Интернете на сайте http:www.mathege.ru:8080/or/ege/Main («Открытый банк заданий ЕГЭ по математике»).).
1) Назвать критические точки функции.
2) Все ли они являются точками экстремума?
3) В каких точках производная равна 0? Почему?
4) Назвать промежутки возрастания и убывания функции.
5) Назвать промежутки, где f´(х)<0, f´(х)>0.
6) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна, отрицательна.
Ответить на вопросы по тому же графику, считая, что это график производной некоторой функции.
1) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна, отрицательна.
2) Назвать точки максимума и минимума.
3) Определить количество касательных к графику функции, у которых угловой коэффициент равен 2.
4) Определить количество касательных к графику функции, которые составляют с положительным направлением оси ОХ угол 135°.
3. Изучение нового материала.
По графику функции (тот же рисунок) найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:
- на [-1;1]; т. к. функция на этом отрезке возрастает, то её наибольшее и наименьшее значения это значения в концах отрезка: f(-1) = 0 - наименьшее значение, f(1) = 3 - наибольшее значение;
- на [4;8]; т.к. функция на этом отрезке убывает, то её наибольшее и наименьшее значения это значения в концах отрезка: f(8) = -4 - наименьшее значение, f(4) = 4 - наибольшее значение;
- на [-1;8]; функция на этом отрезке достигает наибольшего значения в точке максимума - f(4) = 4; наименьшее значение на конце отрезка – f(8) = -4;
- на [-1;2]; функция на этом отрезке имеет единственную критическую точку, которая является точкой максимума, то значение функции в этой точке – наибольшее; наименьшее значение на конце отрезка.
Вместе с учащимися составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у=f(х) на отрезке [a;b] с помощью производной.
I. Найти производную данной функции, если f´(х) ≤0 для всех х из области определения данной функции, то f(а) - наибольшее значение, f(b) - наименьшее значение функции.
II. Найти производную данной функции, если f´(х) ≥0 для всех х из области определения данной функции, то f(b) - наибольшее значение, f(а) - наименьшее значение функции.
III. 1) Найти производную данной функции.
2) Найти критические точки функции.
3) Выбрать хкр 
[a;b].
4) Вычислить: f(а), f(хкр), f(b).
5) Выбрать наибольшее и наименьшее значения.
4. Закрепление нового материала.
Выполнить № 305 (а) из учебника «Алгебра и начала анализа» 10-11кл. под редакцией А.Н.Колмогорова.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х4 - 8х2 - 9 на отрезке [0;3].
- f´(х) = 4х3 - 16х = 4х(х – 2)(х + 2), D(f´) = R.
- f´(х) = 0 при х = 0, х = 2, х = -2. -2, 0, 2 - критические точки.
- -2
[0;3], 0 [0;3], 2 [0;3]. - f(0) = - 9
f(2) = 16 - 32 - 9 = -25 - наименьшее значение функции
f(3) = 81- 72 – 9 = 0 - наибольшее значение функции
Ответ: -25; 0.
В11 № 3383 из «Открытого банка заданий ЕГЭ по математике».
Найдите наименьшее значение функции у = (х-8)еx-7 на отрезке [6;8].
1) у´ = еx-7(х - 7), D(у´) = R.
2) у´ = 0 при х = 7.
3) 7 [6;8].
I способ
у(6) = -(2/e)
у(7) = -1 - наименьшее значение функции
у(8) = 0
II способ
Т.к. у´(6,5) < 0 и у´(7,5) > 0,то хmin = 7
Т.к. на отрезке [6;8] функция имеет единственную критическую точку, которая является точкой минимума, то значение функции в этой точке – наименьшее; у(7) = -1 – наименьшее значение функции.
Ответ: -1.
5. Работа в группах.
7 групп по 3–4 чел., старший в каждой группе – более сильный учащийся, который помогает другим. Каждая группа получает карточку с одними и теми же заданиями и коллективно их решает (10–15 мин.).
Задание B8 (№ 6011)
Прямая y = 7x + 11 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 8x + 6. . Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6043)
Прямая y = -4x - 11 является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 - 6. Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6881)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-6;5]. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Задание B8 (№ 6889)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-4;10]. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Задание В11 (№3391)
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 10)ex-9 на отрезке [8;10].
Проверка решений в группах, разбор заданий.
6. Самостоятельная работа (4 варианта на 10–15 мин).
1 вариант
Задание B8 (№ 6059)
Прямая н = -6x - 2 является касательной к графику функции y = x3 - 5x2 + x - 5. Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6883)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-5;6]. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Задание B11 (№ 3393)
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 14)ex-13 на отрезке [12;14].
2 вариант
Задание B8 (№ 6055)
Прямая y = 2x + 5 является касательной к графику функции y = x3 - 4x2 + 6x + 5. Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6903)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-7;6]. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Задание B11 (№ 3395)
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 19)ex-18 на отрезке [17;19].
3 вариант
Задание B8 (№ 6061)
Прямая y = 7x + 9 является касательной к графику функции y = x3 - 2x2 + 8x + 9. Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6899)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-2;10]. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Задание B11 (№ 3397)
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 21)ex-20 на отрезке [19;21].
4 вариант
Задание B8 (№ 6067)
Прямая y = -5x +14 является касательной к графику функции y = x3 + 3x2 - 2x + 15. Найдите абсциссу точки касания.
Задание B8 (№ 6879)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-6;8]. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Задание B11 (№ 3399)
Найдите наименьшее значение функции y = (x - 23)ex-22 на отрезке [21;23].
Дополнительное задание из сборника типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010, ФИПИ, под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко (С1 из вар. № 3 и вар. № 4)
7. Разбор самостоятельной работы (ответы показать на экране).
1 вар.: 1) 1; 7/3 2) 4 3) у(13) = -1. Ответ: -1.
2 вар.: 1) 2; 2/3 2) 5 3) у(18) = -1. Ответ: -1.
3 вар.: 1) 1; 1/3 2) 5 3) у(20) = -1. Ответ: -1.
4 вар.: 1) -1 2) 4 3) у(22) = -1. Ответ: -1.
8. Домашнее задание: п.25, № 305 (б, в, г); В11 вар. № 1 – вар. № 4 из сборника типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010, ФИПИ, под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.