Организация и решение проблемных ситуаций как средство развития творческого мышления учащихся

Разделы: Математика


Цели: создать условия для формирования у учащихся поисковых процедур в процессе поиска и открытия теоремы о сумме углов треугольника и ее доказательства, стимулирование интереса к знаниям и процессу их приобретения, развитие творческих способностей.

Ход урока

I. Организация урока.

II. Организация проблемной ситуации. Задачей этого этапа является организация таких учебных ситуаций, в которых от учащихся требуется понять и сформулировать имеющиеся в них проблемы.

Учащимся предлагается найти способ решения задачи: “Найти градусную меру угла BAC, если часть его находится на доске, а остальная часть угла вместе с вершиной A находится в недоступной точке ”. На уроке сложилась следующая ситуация: ученик предложил на сторонах угла отметить точки B и C, с помощью транспортира измерить доступные углы, и от суммы всех углов треугольника отнять сумму этих углов. Так возникла проблема: “Чему равна сумма углов треугольника?”, способ решения которой был сразу же предложен – построить треугольник, измерить его углы и сложить.

III. Выдвижение гипотез.

У некоторых учащихся сумма углов получается меньше 180°, у других – больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых получается даже “точно” 180°. Не все учащиеся догадываются, что должно получиться 180° и другой результат объясняется погрешностями измерения. Поэтому и выдвигаются гипотезы 1-4.

Гипотезы:

  1. Сумма углов треугольника зависит от размера треугольника.
  2. Сумма углов треугольника зависит от вида треугольника.
  3. Сумма углов треугольника может быть больше 180?.
  4. Сумма углов треугольника может быть меньше 180?.
  5. Сумма углов треугольника может быть равна 180?.

IV. Организация решения проблемы.

Для проверки гипотез путем экспериментальной проверки и наблюдений можно организовать групповую работу учащихся.

а) Опыт по сравнению углов на моделях подобных треугольников позволит учащимся ответить на вопрос, зависит ли сумма углов треугольника от размеров треугольника.

б) Опыт с отрезанием углов различных по виду треугольников и сравнением их сумм позволит учащимся ответить на вопрос, зависит ли сумма углов треугольника от вида треугольника.

в) решение задачи на построение треугольников с заданными углами (30°,50°, 80°; 110°, 35°, 45°) позволит учащимся проверить гипотезы о сумме углов треугольника.

Итог этой работы - формулировка вывода:

“Сумма углов треугольника:

- не зависит от размера треугольника;

- не зависит от вида треугольника;

- не больше и не меньше 180°;

- равна 180°”.

г) Организуется работа по подтверждению последней части вывода в частных случаях.

Демонстрируется модель квадрата, которая разрезается по линии диагонали, устанавливается, что сумма углов каждого прямоугольного треугольника равна 180°, доказывается равенство треугольников по готовому чертежу (рис.1).

Остроугольный треугольник ABC учащиеся догадываются достроить до четырехугольника ABCD. При этом необходимо добиться, чтобы учащиеся показали, как именно будут проводить построение (так, чтобы сторона AC была общей стороной, AB=CD, AD=BC); доказывается равенства полученных треугольников по готовому чертежу (рис.2).

Аналогичная работа проводится для тупоугольного треугольника.

г) Итог работы - формулировка вывода: “Сумма углов треугольника равна 180°”. Утверждение подтвердилось для прямоугольного, тупоугольного, остроугольного треугольников.

д) Организуется работа по доказательству утверждения в общем случае.

  • формулировка вывода в виде теоремы;
  • выделение в теореме условия и заключения;
  • фиксация их словесно и графически;
  • поиск доказательства;
  • запись доказательства.

Краткая запись того, что дано и что требуется доказать, представлена на рисунке 3.

Дано. ABC.

Доказать, что .

Учитель обращает внимание учащихся на то, что условия теоремы совершенно нельзя извлечь какую бы то ни было информацию. Остается надеяться разобраться в том, каким образом можно прийти к выводу, о котором говорится в заключение теоремы. С учащимися вспоминаются утверждения, связанные с величиной 180°. Это теоремы о сумме смежных углов, о сумме внутренних односторонних углов, градусная мера развернутого угла.

1 способ[1]..

Предложить учащимся построить угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, например, с углом A (рис. 4).

Имеем: . Предлагается подумать над тем, как можно установить, что . Перед знакомством с суммой углов треугольника учащиеся познакомились с теоремой об углах, образовавшихся при пересечении параллельных прямых секущей. Поэтому можно ожидать, что кто-то догадается через точку A провести прямую, параллельную прямой BC (рис. 5). Остальные ученики воспримут такое решение проблемы как вполне естественное.

Нетрудно сделать вывод, что образовавшиеся накрест лежащие углы, равные углам B и C, в сумме с углом А составляют развернутый угол. Поиск в рассматриваемом случае привел к доказательству, которое дано в учебнике “Геометрия 7-9” Л.С. Атанасяна.

Доказательство теоремы может быть записано в виде карточки с готовым чертежом (рис.6) и пропусками. Работа с ней требует от учащихся воспроизведения всей цепочки рассуждений. Карточка может иметь вид.

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

и - …………………………………….

+ = …………………………………….

a | | BC, AB – секущая при пересечении параллельных прямых a и BC;

… - как ……………………………………

a | | BC, – секущая при пересечении параллельных прямых a и BC;

… - как

В сумме углы … составляют … угол при вершине А.

Значит … Что и требовалось доказать.

2 способ[6]. Предложить учащимся “оторвать” у треугольника, вырезанного из бумаги два угла и приложить их к третьему, чтобы учащиеся заметили получившиеся три угла с общей вершиной A, лежащие по одну сторону от прямой (рис.7, а). Следовательно, сумма этих углов равна 180°.

Но можно ли быть уверенными в том, что два луча, сходящиеся в точке A, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от прямой, что можно этого и не заметить. Учащиеся понимают, что выполненная работа еще не представляет собой доказательства, но она подсказывает путь к нему. Действительно, вместо того, чтобы отрывать два угла и прикладывать их к третьему, надо построить треугольник ABC (рис. 7,б) и провести луч AM, образующий угол MAB, равный углу B, и луч AK, образующий угол KAC, равный углу C. Нужно доказать, что лучи AM и AK образуют одну прямую. Учащиеся легко обнаруживают, что прямые AM и BC, AK и BC параллельны, и так как по аксиоме параллельных через точку A не проходит более одной прямой, параллельной BC, то лучи образуют одну прямую. Отсюда и следует, что сумма углов при вершине A равна 180° или сумма углов A, B, C равна 180°.

V. Применение выводов на практике.

На этом этапе формируются умения учащихся применять теорему о сумме углов треугольника для решения стандартных задач.

а) Задача[2]. Укажите те утверждения, в которых допущена ошибка, объясните ее и исправьте.

  • “Тупоугольным называется треугольник, все углы которого тупые”;
  • “Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным”;
  • “Если один из углов треугольника острый, то треугольник называется остроугольным”.

б) Решение задач по готовым чертежам.

Составьте и решите задачи, используя чертежи а) – е).

Решение задач к чертежам г), д), е) оформляются письменно в тетрадях. Учащиеся со слабой математической подготовкой решение задач оформляют в карточке с пропусками.

Вид карточки к задаче г).

Задача. В равнобедренном треугольнике DKM (рис. 8) угол при основании равен 75°. Найдите углы M и K.

Дано. DKM - … D = 75°. Найти …

Решение.

DKM - … . Значит, D = … = 75°.

По теореме о сумме углов треугольника

D +M + K = … °,

75° + 75° + K = …°,

…° + K = 180°,

K = 180° - … ,

K = ….

Ответ. M = 75°, K = …

V. Домашнее задание.

Задача[2]. Найдите ошибку в приведенном доказательстве теоремы о сумме углов треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Разобьем его отрезком CD на два треугольника ACD и BCD (рис. 9). Пусть x – неизвестная сумма углов треугольника. Тогда , . Складывая левые и правые части этих равенств, получаем .

Учитывая, что и , имеем: , или .

Решение. Ошибка в доказательстве имеет следующую причину: сумму углов любого треугольника обозначили за x, считая ее одной и той же для любого треугольника. А это как раз и вытекает из того, что сумма углов треугольника равна 180?. Учащимся необходимо проверить независимость аргументов от доказываемого утверждения.

VI. Подведение итога урока, выставление отметок.

Литература для урока

1. Волович М., Как сделать геометрию понятной и интересной, – “Математика. 1 сентября”, №12, 2001.

2. Саранцев Г.И., Обучение математическим доказательствам в школе, – М., 2000.

3. Груденов Я.И., Совершенствование методики работы учителя математики, – М., 1990.

4.. Калягин Ю.М и др., Методика преподавания математики в средней школе, – М., 1975.

5. Виноградова Л.В., Методика преподавания математики в средней школе, – Ростов-на-Дону, 2005.

6. Столяр А.А., Логические проблемы преподавания математики, - Изд. “Высшая школа”, Минск, 1965.

22.07.2010