Независимо от того, какой тип хозяйствования, в соответствии с 83 ФЗ, выберет то или иное бюджетное образовательное учреждение, учитель останется учителем, его ученики – учениками, с которыми ему продолжать работать: обучать, «передавать» собственный опыт и знания, готовить их к самостоятельной жизни и трудовой деятельности. Целью учителя (в школе, в вузе) на современном этапе является подготовка молодого человека обладающего не только профессиональными знаниями, умениями и навыками, но и самообразовывающегося, быстро и гибко подстраивающегося к изменениям как в общественной среде, так и производственной. Указанное составляет наиболее важные компетенции будущего специалиста.
Учителя (школ, вузов) по-разному подходят к решению поставленных перед ними обществом задач. На взгляд автора статьи успех в учении-обучении может быть достигнут только при воспитании творчески мыслящей личности. Если учитель в школе не научит обучающегося ставить перед собой вопросы: «а почему так, а не иначе», «каким образом это получилось», что можно «с этим сделать дальше», то в высшей школе такой обучающийся (в лучшем случае) может только воспроизводить получаемые знания, умения и навыки, и быть даже неплохим студентом. При этом он не будет способен сам сделать тот или иной вывод, подвести итог в рассуждениях, предложить свой вариант развития событий или исследований, да и вообще самостоятельно работать с учебным материалом.
Для того чтобы указанное выше (способность теоретизировать) стало нормой для обучающегося, сам процесс обучения, в частности математике, должен быть построен соответствующим образом. Применение поискового, проблемного методов, а также работа над проектами (что стало модным и актуальным в последнее время) способствует формированию творческой деятельности и самостоятельности обучающихся в школе, а затем развитию творческой учебной и научно-исследовательской деятельности студентов в вузе.
Действительно, если во время занятий по математике по каждой изучаемой теме решать со школьниками достаточно много однотипных готовых задач, то большая часть из них будет уверенно и безошибочно справляться с такими задачами. Но, при этом, не может быть уверенности в том, что обучающиеся смогут применить такие знания для решения нестандартных задач, задач с модифицированным условием, которые «сплошь и рядом» возникают в жизни, на производстве. Если же школьник (а затем и студент) самостоятельно размышляет, теоретизирует, экспериментирует над изучаемым учебным материалом, то и знания его будут прочнее, появится навык проведения научных исследований. Пусть это и будут всего лишь учебные (элементарные) проблемы, но результат по ним добыт самостоятельно(!), и является продуктом собственного умственного экспериментирования. В качестве подтверждения – наиболее яркий пример – К.Э. Циолковский, который писал, что сначала он делал открытия известные всем, затем лишь немногим и, наконец, никому не известные.
Понятно, что практически невозможно превратить занятия по математике (да и по любой другой дисциплине) в непрерывную цепочку микрооткрытий, пусть даже и на элементарном уровне. Но решая задачи, самостоятельно составляя для них обратные (то, что называется УДЕ П.М. Эрдниева), модифицируя условия, выполняя поиск нестандартного хода решения, обучающиеся сталкиваются с противоречием между их прошлыми знаниями и новыми. Аналитические и синтетические ходы мысли во время решения УДЕ приводят к разрешению противоречий и приводит к новым знаниям а, следовательно, такие задания относятся к заданиям творческого характера.
Сформировать умственные действия у обучающегося так сразу невозможно. К знаниям о предметах и объектах внешнего мира любой человек приходит через систему действий (Л.С. Выготский): выполнение определенных действий обеспечивает перевод знаний и умений из внешнего плана во внутренний. Кроме того, внутренняя деятельность является отражением внешней.
Рассмотрим на примере сказанное выше. Задача решалась на занятиях по математике со студентами 1-го курса спец. 080801 «прикладная информатика в экономике» и лицеистами 11 класса на уроках по информационным технологиям (с вполне понятными сокращениями) и может быть отнесена к междисциплинарным («математика», «информатика», «численные методы»).
Применение компьютера на занятиях по математике, будь то лекция или практическое занятие, несомненно, влияет на ход самого занятия. На обучающихся (школьников и студентов) производит неизгладимое впечатление работа математических редакторов, таких, как MathCAD, MathLab и др. То, что обучающиеся могли решать часами дома или во время занятий, редакторы выполняют в течение нескольких секунд (кроме времени, потраченного на набор соответствующей формулы или данных). После более подробного знакомства с возможностями редакторов обучающиеся понимают, что эти средства являются едва ли не самыми важными инструментами инженера при выполнении математических вычислений и получения символьных значений выражений.
Достаточно большое количество математических расчётов производится инженерами с использованием систем уравнений с n неизвестными первого порядка. Рассмотрим их решение с помощью редактора MathCAD.
Из теории алгебры известно, что решения указанных систем можно получить несколькими методами, не прибегая к помощи компьютера:
- методом Крамера;
- матричным методом;
- методом Гаусса – методом последовательного исключения переменных.
В качестве примера – задача (№ 1236. «Сборник задач по аналитической геометрии» Д.В. Клетеник):
«Требуется установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его:
.»
Приведём алгоритм решения указанной системы первым методом: вычисляются
- определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных в уравнениях системы, устанавливается, равен он 0 или нет;
- определители третьего порядка матриц, у которых произведена замена соответствующих столбцов коэффициентов при одноимённых неизвестных столбцом свободных членов уравнений;
- неизвестные – как отношения получаемых определителей с заменой столбцов на определитель системы.
Во время занятий каждый студент по этому алгоритму вычисляет для заданной системы по четыре определителя. При этом отрабатывается навык вычисления соответствующих определителей. Но, необходимо учитывать, что большее внимание должно быть направлено именно на методику решения самой системы, а не на вычисление определителей, так как будущему экономисту важно всего лишь помнить как вычислить определитель, но в своей практической деятельности вычислять его он будет с помощью математического редактора или других подручных средств.
Студент, решая на соответствующем практическом занятии по алгебре и аналитической геометрии, один – два примера с полным расчётом указанных определителей, более продуктивно будет производить дальнейшие расчёты с использованием компьютерной техники и специального ПО. Высвободившееся время лучше потратить на исследование вопроса о существовании решения.
Задание – исследовать решение неоднородной системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными в среде MathCAD появилось в результате достаточно серьёзного интереса студентов к демонстрации автора решения одной из систем уравнений с помощью указанного математического редактора с применением мультимедиапроектора.
Решение указанной выше системы различными способами в редакторе MathCAD приведено ниже. Практически все студенты групп автора участвовали в исследовании, продемонстрировали свои результаты. Некоторые студенты, продемонстрировавшие нестандартное мышление и большую самостоятельность в решении поставленной проблемы, согласились и дальше проводить более серьёзные исследования в рамках студенческой науки.
Ниже приведено решение задачи по формулам Крамера в среде MathCAD (рисунок 1):
Рисунок 1 – Вычисление определителей системы и для свободных членов.
В результате, как и в теории, получаем корни системы (рисунок 2):
Рисунок 2 – Вычисление корней системы.
Очевидно, что этот метод слишком трудоёмкий (даже для MathCAD), на практике применяется не часто, хотя в учебном процессе данный метод является едва ли не самым главным, содержащим в себе практически все математические операции, изученные на предыдущих лекционных и практических занятиях при прохождении тем определителей и систем линейных уравнений первого порядка.
С помощью MathCAD можно быстро вычислить обратную матрицу для заданной, а тем самым, получить решение системы уравнений матричным методом. Приведём теоретические выкладки этого метода:
.
Но вычисление обратной матрицы без помощи компьютера достаточно трудоёмкий процесс: вычисление определителя исходной системы, алгебраических дополнений, составление соответствующей матрицы, которую далее необходимо транспонировать, только после этого производится перемножение матриц – полученной и свободных членов. Возможно, именно по этой причине метод Крамера (а ещё чаще – Гаусса) более востребован при решении систем линейных уравнений первого порядка без применения компьютера.
В нашем случае, решение в MathCAD приведено на рисунке 3:
Рисунок 3 – Вычисление корней системы матричным методом.
Приведённый выше метод выглядит более коротким, и, возможно, более понятным и прозрачным, поэтому пользователь, решая системы уравнений с помощью MathCAD, практически всегда применяет этот метод.
Студенты кроме указанных способов решения системы линейных уравнений обнаружили, после изучения литературных источников по проблеме, ещё и специфические методы MathCAD решения указанных систем уравнений. Эти методы позволяют получить корни системы численными методами, использующими внутренние процедуры математического редактора, скрытые от глаз пользователя:
- вычисление корней системы уравнений с помощью ключевых слов given … find с заданием первоначальных приближений;
- символьное вычисление корней системы уравнений с помощью ключевых слов given … find без задания первоначальных приближений;
- вычисление корней системы уравнений с помощью оператора lsolve.
Решение первым способом, приведённое на рисунке 4, предполагает задание первоначальных приближений корней:
Рисунок 4 – Численный метод с заданием первоначальных приближений корней.
Решение вторым способом (рисунок 5) предполагает, что вместо знака равно в операторе find будет поставлен знак символьного вычисления – стрелка:
Рисунок 5 – Символьные вычисления корней.
Но, специально для инженеров, ведущих достаточно объёмные вычисления в MathCAD, включена команда непосредственного подсчёта корней – lsolve (рисунок 6).
Рисунок 6 – Численный метод символьного вычисления корней.
Школьники решают системы уравнений на математике методом последовательного исключения переменных (метод Гаусса). К сожалению, в MathCAD данный метод реализован неочевидно, и поэтому рассматривается только в высшей школе. Этот метод решения студенты также привели в проведённом исследовании (рисунок 7).
Рисунок 7 – Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Нетрудно видеть, что в приведённом выше примере коэффициенты при неизвестных, свободные члены и решения являются действительными числами. Но MathCad справляется и в ситуации, когда всё перечисленное задаётся или получается в комплексной области.
Рассмотрим далее задание (№ 104 «Сборник задач по высшей алгебре» Д.К. Фаддеев, И.С. Соминский), в котором нужно решить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными. Сама система, в виде двух уравнений записана между операторами среды MathCAD (рисунок 8):
Рисунок 8 – Решение системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами.
Видим, что результатом являются четыре значения переменных – решение системы, записанное через переменные z и t, являющиеся в решении неопределёнными. Таким образом, MathCAD не считает значения переменных z и t, предоставляя нам возможность самим вводить произвольные значения этих переменных. Приведённое решение явилось результатом того, что студенты после выполненного исследования стали проверять все свои «ручные» вычисления в MathCAD, продолжая тем самым самостоятельно, без подсказки преподавателя, творчески относиться к своей учебной деятельности. Практически на каждом занятии по математике от студентов были вопросы по тем или иным тонкостям работы в MathCAD или демонстрация решения некоторых заданий в этой среде.
Из алгебры известно, что из системы двух уравнений в комплексной области можно получить систему четырёх действительных уравнений (используя свойства равенства двух комплексных чисел). В этом случае получим корни системы уравнений в действительной области. Именно так студенты и решают без компьютера приведённую выше систему, даже не подозревая, что она имеет бесконечное множество решений в комплексной области. Читателю оставляем возможность самостоятельно проверить – есть ли ещё решения системы в действительной области, отличные от найденного: х = -2; у = 1,5; z = 2; t = -0,5.
Рассмотренные примеры убеждают, что применение компьютера, мультимедийного проектора (на лекционном или практическом занятии) и специального программного обеспечения – MathCAD позволяет всесторонне рассмотреть поставленную задачу, находя новизну в каждом решении, выявить все взаимосвязи в условии, произвести во время решения одной и той же задачи большое количество различных математических операций, приводящих к одному и тому же результату. Несомненно, что такого рода исследования способны развить у обучающихся устойчивый интерес к научным исследованиям.
Нетрудно видеть, что инициатива, самостоятельность, творческий поиск проявляются в исследовательской деятельности и непосредственно перерастают в методы научного исследования. Следовательно, психологическое развитие личности студента – диалектический процесс возникновения и разрешения противоречий, перехода внешнего во внутреннее, самодвижения, активной работы над собой.