Арифметическая прогрессия. 9-й класс

Разделы: Математика


Цели урока:

  • Образовательная: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме, выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме, показать применение полученных знаний в практической деятельности и нестандартных ситуациях;
  • Развивающая: развитие кругозора, мышления, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики;
  • Воспитательная: воспитание дисциплинированности, аккуратности, усидчивости, толерантного отношения друг к другу.

Оборудование: доска, мел, проектор, интерактивная доска.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к работе. Сообщение темы урока, постановка целей и задач урока.

II. Устная работа (с применением интерактивной доски).

Мы изучили тему “Арифметическая прогрессия”, познакомились с новыми понятиями, терминами, вывели формулы для вычисления n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии, научились с их помощью решать задачи.

Основная цель сегодняшнего урока – обобщить и систематизировать полученные знания, научиться применять их при решении нестандартных задач. Но, прежде чем приступить к их решению, давайте разомнемся и решим несколько устных задач (решаются с помощью интерактивной доски)

1. Вставьте пропущенное число:

  • 18, 21, 24, 27, … ;
  • 0, 2, … , 6, … ;
  • -10, -5, 0, … .

Д2. аны четыре арифметические прогрессии. Выберите среди них ту, среди членов которой есть число -6.

  • an= -2n + 10;
  • an= -4n + 1;
  • an= 3n ;
  • an= -4n + 1.

3. Из данных чисел составьте арифметическую прогрессию:

  • -7, -4, -1, 2, 5;
  • 35, 28, 21, 14, 7.

4. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (an), если a1=2, d=3.

III. Решение задач.

Говоря об арифметической прогрессии мы неоднократно повторяем слово “прогрессия”. А знаете ли вы, откуда произошло это слово?

Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским математикам. Математические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, древнекитайском трактате “Математика в 9 книгах”. В одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии

1× 2, 2× 2, … , 2× (n-1).

Широко известна задача о вознаграждении изобретателя шахмат, записанная в древнеегипетском папирусе Ахмеса более 2000 лет назад. В папирусе Ринда, составленном около 2000 лет до нашей эры и являющейся списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося к 3 тысячелетию до нашей эры, имеется задача о делении хлеба. Давайте и мы решим эту задачу.

Задача 1. Сто мер хлеба разделили между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Для решения этой задачи мы использовали формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. Впервые эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III век н. э.). Правило отыскания суммы n первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в “Книге абака” Л. Фибоначчи (1202 г). Но, несмотря на вековую давность этих формул, в школьных учебниках они появились совсем недавно. В первом учебнике “Арифметика” Л. Магницкого, изданном 200 лет назад и служившим полвека основным руководством для обучения, общих формул для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии нет, и даже сам составитель не без труда справлялся с такими задачами.

Между тем, вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии можно с помощью следующих несложных рассуждений.

Пусть (an) : a1, a2, а3…. – арифметическая прогрессия. Изобразим члены прогрессии с помощью прямоугольников площадью a1, a2, а3 …an соответственно.

Площадь получившейся фигуры ABCD равна сумме n первых членов нашей арифметической прогрессии, то есть

SABCD = Sn

Дополним фигуру ABCD с помощью равной ей фигуры CKMD до прямоугольника

SABKM = AB × BK
BK= a1+ an, AB = n, SABKM = 2Sn.
Тогда, 2Sn.=(a1+ an)× n
Sn.= (a1+ an)× n/ 2

Легко заметить закономерность, присущую арифметической прогрессии

a1 + an = , a2 + an-1,

то есть для любой конечной арифметической прогрессии (an) : a1, a2, а3…. an имеет место равенство

a1 + an = ak + an-k+-1,

Обратите внимание, что сумма индексов у слагаемых в левой и правой частях одна и та же n + 1.

Этим свойством интуитивно воспользовался маленький Гаусс, когда за несколько минут сложил числа от 1 до 100, тем самым немало удивив своего учителя. Запишите это свойство арифметической прогрессии в справочники.

Задача 2. Найдите сумму 20 первых членов арифметической прогрессии, если:

a6 + a9 + a12+ a15 = 20.

Задача 3. Решите уравнение:

1+3+5+7+….+x = 625

Арифметическая прогрессия обладает еще одним интересным свойством, которое можно отнести к разряду занимательных.

Рассмотрим последовательность четных натуральных чисел (an) : 2, 4, 6, 8, …– арифметическая прогрессия.

Из девяти первых членов этой арифметической прогрессии дома вы составили магический квадрат.

8
6
16
18
10
2
4
4
2

Пусть (an) : a1, a2, а3…. an – арифметическая прогрессия, anÎ N

a4
a3
a8
a9
a5
a1
а2
а7
а6

В самом деле,

a1+3d
a1+2d
a1+7d
a1+8d
a1+4d
a1
a1+d
a1+6d
a1+5d

Оказывается, из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. Константа магического квадрата равна 3a1 + 12d.

Законам арифметической прогрессии подчиняются даже стихотворения.

Вспомним строки из романа А. С. Пушкина “Евгений Онегин”, сказанные о его герое: “Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить”.

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил), то есть ударными являются 2, 4, 6, 8 и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью, равной 2:

(an) : 2, 4, 6, 8, …

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха (буря небо мглою кроет).

Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность, по-прежнему, равна 2:

(bn) : 1, 3, 5, 7, …

IV. Подведение итогов урока. Задание на дом.

1. Мама предложила сыну на выбор два варианта: давать ему ежедневно на карманные расходы в течении месяца по восемь рублей или дать в первый день 50копеек, зато в следующий на 50 копеек больше, в следующий еще на 50 копеек больше и так далее в течении месяца. Какой вариант выгоднее для сына, если мама с сыном договаривается на апрель? На март?

2. Найдите значение выражения:

(12+32+52+…+1992) – (22+42+…+2002)

3. Решите уравнение:

1+4+7+…+х =176