Урок-семинар "Что мы знаем об иррациональности"

Разделы: Математика


Цели:

  • обобщение знаний учащихся по данной теме;
  • формирование навыков самообразования, самоорганизации  работы в группах;
  • воспитание навыков общения, умения выслушивать и общаться в группе.

Оборудование и наглядность к уроку: компьютер, мультимедийный проектор, Презентация, таблица, раздаточный материал: «Справочные сведения», план решения заданий.

Подготовительная работа к уроку – семинару:

1. За несколько дней до семинара сообщить план и основные вопросы, выносимые на семинар;

  • Историческая справка о развитии числа.  Философское учение Пифагора о числе.  Выступление учащихся с сообщениями.
  • Свойства радикалов; Справочные сведения.

Задание:  При каком целом положительном х значение выражения ближе  всего к числу 0,7?

  • Справочные сведения об иррациональных уравнениях и способах их решения; Справочные сведения об иррациональных неравенствах и способах их решения.

2. Обсудить с учащимися план их выступления на семинаре.

3. В оказании помощи в подготовке к семинару проводить индивидуальные  консультации для учащихся и групп учащихся.

План проведения занятия

1. Вводное слово преподавателя

Когда мы задумываемся о происхождении того или иного понятия, то для разрешения этого вопроса чаще всего обращаемся к толковому словарю.
В большом толковом словаре русского языка найдем определение иррациональности:
С философской точки иррациональность – недоступность рассудку, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам законом логики и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное».
С математической точки иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.
Действительно ли понятие иррациональность– это что-то « уму непостижимое, несоизмеримое, немыслимое».
На этот вопрос мы и постараемся сегодня найти ответ в первой  на уроке.
Выступление учащихся на семинаре сопровождается презентацией.

2. Первое выступление учащихся с сообщениямиисторическая справка

Обратимся к истории математики. Когда речь идет о чем-то очень простом и понятном, мы говорим: «Дело ясно. Как дважды два  – четыре!» А прежде чем додуматься до того что дважды два четыре, людям пришлось много учится, много тысяч лет. Конечно, это учение шло не за партой. Человек постоянно учился жить: строить жилища, обрабатывать землю, находить дорогу в дальних походах. Везде нужны знания математики.
Наглядным пособием для изучения математики были окружающие предметы. Всякий отдельный предмет: солнце на безоблачном небе, луна в ясную ночь, сам человек – вызывали представление о числе «один». Так глаза, уши, руки человека, крылья птицы служили представлением  о числе «два». Постепенно, пользуясь сначала пальцами рук. А потом и пальцами ног, люди удлинили  счет. Так в сознании людей возникло представление о натуральных числах 
Дополнив натуральные числа нулем и отрицательными числами, расширили множество натуральных чисел, до множества целых чисел 
Прошли годы, столетия и в уме человека зарождается идея о действиях над числами. Так возникла одна из древнейших наук  – арифметика.
Греческий математик Евклид в 3 веке до н.э. создал первую математическую школу.
Л.Ф. Магницкий (1703 году) – создал первый учебник арифметики в России.
В 18 веке Ньютон определил понятие числа как отношение одной величины к другой, того же рода. С этого времени в математике определилось понятие дробного числа.
2000 лет назад знаменитый римский оратор Цицерон говорил: «Без знания дробей никто не может признаваться сведущим в арифметике».

R:

Прошло много времени после открытия дробей, пока человеческий ум обнаружил в процессе измерения величин существования иных чисел, кроме целых и дробных.

3. Выступление «Понятие об иррациональном числе

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н.э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом она является  гипотенузой. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна . Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью, покажет 1,414213562373. А с помощью мощного современного компьютера  можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколь бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры числа, ни обнаружить в них какой-либо период.
Для пифагорейцев, положивших в основу своей философии число как результат измерения и соотношения между величинами, реальный прямолинейный отрезок – диагональ квадрата со стороной равной единице – лишен числового образа, т. е. такого отрезка не существует. Открыв новый математический объект, пифагорейцы пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали.
И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются! Это  и есть что-то « уму непостижимое, несоизмеримое, немыслимое» для пифагорейцев, но не для нас с вами.

4. Выступление «По следам открытия  пифагорейцев

Как доказать, что число  иррационально?   Предположим, существует рациональное число , такое, что   . Дробь  будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим  Отсюда заключаем, что m – число чётное, т.е. m = 2k. Поэтому и, следовательно, , или  . Но тогда получается, что и n также число чётное, а этого быть не может, поскольку дробь  несократима. Возникает противоречие. Остаётся сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа , равного не существует.

История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Назовем некоторые из них: это Декарт – французский ученый, английский физик Ньютон, открывший основные законы природы, Лейбниц, Колмогоров, Понтрягин.

5. Выступление

Человеку часто приходиться сталкиваться с иррациональными числами. Решая задачи на вычисления длины окружности, площади круга, приходиться пользоваться формулами, в которых содержится число = 3,14…

Классическая задача на геометрическую вероятность:

1) Пусть дан квадрат, в который вписана окружность. В квадрат бросают точку; вероятность того, что она попадет в круг, равна отношению площадей круга и квадрата.

2) В физике при нахождении времяt поднятия тела, брошенного вертикально вверх на высоту h

3) Диаметр трансмиссионного вала , где N – мощность станка в лошадиных силах, n – число оборотов вала в минуту.
В данном случае  речь идет о передачи при помощи ремня вращения от электромотора к шкиву, наглухо посаженному на ведомый вал.

4) При вычислении периода колебания математического маятника

6. Выступление

В математике есть понятие иррациональное выражение – математическое выражение, содержащее буквы, символы, числа под знаком арифметического корня.

В тождественных преобразованиях радикалов в курсе математики мы используем основных  5 теорем и некоторые специальные приемы уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

Справочные сведения:  (раздаточный материал №1 на каждом столе)

Т-1

Если показатель корня – натуральное четное число, т.е. , то по определению

Для любого неотрицательного действительного числа а и произвольного натурального числа К существует единственное действительное число в такое, что в2k = a.

Т-2

Если показатель корня  – натуральное нечетное число, т.е. , то определению

Для любого действительного числа а  и произвольного натурального к существует единственное действительное  число в такое, что в2k+1 = a.

Неотрицательное значение корня из неотрицательного числа называют арифметическим значением корня. Или просто арифметическим корнем.

Справедливы следующие свойства:

 формула сложного радикала.

Учащимся было предложено найти решение для задания1 и представить на семинаре его решение:

Задание 1.  При каком целом положительном х значение выражения

 ближе  всего к числу 0,7?

Подробное решение у каждого учащегося на парте.На доске заранее записан план решения: Данное выражение определено при выполнении следующих условий:

1. x > 0

2.

3.

4.

Из решения  неравенства 1-3 получаем x > 7.

Выполнив преобразования выражения 4 получаем:

при х = 7  

при

следовательно, значения х удовлетворяют условию x > 7.

Преобразуем данное выражение с учетом условия x > 7:

Решая уравнение  получаем

Рассмотрим функцию , т.к.
Тогда  

сравним два числа   .

Так как

Ответ 26.

Вступительное слово преподавателя:

Умение преобразовывать радикалы полезно и необходимо при решении иррациональных уравнений.  Вопросы разрешимости уравнений в радикалах были окончательно решены только в первой половине 19 века в работах знаменитых математиков – итальянца Паоло Руффини,  француза Галуа и норвежца Абеля.
Переходим к решению различных задач иррациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Справочные сведения (раздаточный материал №2  для учащихся)

Определение 1

Простейшими иррациональными уравнениями от одной переменной будем называть уравнения вида:

1.

2.

3.

Все корни четной степени, входящие в иррациональное уравнение, являются арифметическими. Все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения, при этом корень имеет тот же знак, что и подкоренное выражение.

Алгоритм решения каждого из типов простейших уравнений:

1.

2. Функция

Поэтому

Задание 2. Решить уравнение

План решения:

Уравнение решаем методом замены переменной.

получаем уравнение , решая, получаем

1. Найти нули функции:

2. Найти сумму корней уравнения:

План решения

Данное уравнение равносильно совокупности

Решая, получаем:  х = – 3,6

х = 4; х — 4х

учитывая данные условия, имеем – 3,6 + 4 = 0,4. Ответ: 0,4

3. Решить уравнение

План решения:

Т.к. функция возрастающая,   убывающая.

Уравнение имеет не более одного корня х = – 2. Подставив в данное уравнение  х = – 2, получим верное числовое равенство.

Выступление 7. Решение иррациональных неравенств

Справочные сведения. Раздаточный материал 3.Решение простейших иррациональных неравенств.
Решение неравенств, содержащихся под знаком радикала, основано на теоремах:

Т-1:

T-2:

T-3:

Задание: решить неравенство и указать число целых отрицательных решений неравенства

План решения:

Решая совокупность двух систем получаем

Неравенству удовлетворяет одно отрицательное целое значение х = – 1.

Итоги урока:

«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Мы не можем согласиться с данным утверждением,мы знаем, что не число есть основа вещей, хотя, несомненно, число играет исключительную роль  в  науке и технике, в деле подчинения ее сил человеку.Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.

Используемая литература к семинару:

  1. Иррациональные числа  на сайте: ru.wikipedia.org›wiki/
  2. Современный толковый  словарь изд. «Большая Советская Энциклопедия».
  3. А. Киселев. Элементы алгебры и начала анализа. Пятое издание. Издательство Москва. 1928. 
  4. Учебник Алгебра и начала математического анализа  10-11. Ш. Алимов.
  5. В.Б. Некрасов. Школьная математика. Самое необходимое. «Авалон». С-Петербург.2006.

5.02.2012