Урок по теме "Квадратные уравнения". 8-й класс

Цели:

• Закрепить, обобщить и систематизировать знания учащихся о квадратных уравнениях.
• Рассмотреть исторические сведения о квадратных уравнениях, неполных квадратных уравнениях, приемы решений квадратных уравнений древнегреческими математиками, вавилонянами, индийским ученым Брахмагупта.
• Проверить качество знаний и уровень обученности учащихся по данной теме.
• Выбрать “Знатока квадратных уравнений”.

Формы работы:

• фронтальная;
• индивидуальная;
• групповая.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, проверки качества знаний учащихся по данной теме.

Продолжительность урока: 2 часа.

Оснащение урока:

• мультимедийный проектор;
• экран;
• маркерная доска;
• разноуровневые карточки, подготовленные индивидуально для каждого ученика;
• карточки, содержащие задания повышенного уровня обучения.

Подготовка учащихся к уроку:

Предварительно за две недели до урока класс разбивается на группы. Каждая группа проводит исследовательскую работу по заданной теме и готовит презентацию.

Темы, над которыми работали группы:

• исторические сведения о неполных квадратных уравнениях;
• приемы решения уравнений Диофантом в книге “Арифметика”;
• правило решения квадратных уравнений индийским ученым Брахмагупта;
• общее правило решения квадратных уравнений, сформулированное немецким математиком М.Штифелем.
• великий вклад в теорию квадратных уравнений Ф. Виетом.

Ход урока

– Ребята, я хочу начать наш урок словами знаменитого ученого-математика нашей великой России Софьи Ковалевской. Вслушайтесь и вдумайтесь в ее слова. “Математика-красота, математика–гармония, математика-музыка, гаммы которой развивают ум, мышление, внимание, память”.

Можно сделать вывод, что без математики нет жизни. Я позволю себе продолжить слова С.Ковалевской и сказать, что лебединой песней всей математики являются квадратные уравнения. Какую бы тему по алгебре или геометрии мы не изучали, при выполнении самых разных заданий мы будем снова и снова встречаться с решением квадратных уравнений. Можно с полным правом сказать, что без квадратных уравнений не может существовать математика. И, поэтому, мы с вами сегодня будем говорить только о квадратных уравнениях, заходить на страницы истории математики, и самое главное: решать, решать и решать разного вида квадратные уравнения. В результате нашей работы каждый из вас получит оценку, надеюсь хорошую, а ученику, который достигнет лучших результатов, будет присвоено звание “Знаток квадратных уравнений”. Я желаю вам успехов.

Наша с вами работа будет состоять из двух частей. В первой части вам будут предложены задания обязательного уровня обучения. Работа состоит из 4 заданий. А во второй части вам будут предложены задания повышенного уровня сложности.

Прошу настроиться на работу. И так начинаем.

Мы много раз произнесли слова “квадратные уравнения”.

1. А какое уравнение называется квадратным?

2. Какие из данных уравнений не являются квадратными? (Слайд 1)

3x² -4 = 0
6x² -x² – 9 = 0
7x² – 4x =0
1 – 2x = 0
-x² + 4 = 0

3. Найти коэффициенты a, b, c (Слайд 2).

5x² – 9 x + 4 = 0
-4x – 7x² = 0
6x²–30=0
–9x²=0
3x–5+4x²=0

4. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?

5. Найти корни неполных квадратных уравнений (Слайд 3).

x²–9x=0
49x²–4=0
–x²+3=0
2x²–3x=0
6x²+24=0

А сейчас вам предстоит выполнить первое серьезное задание. Приготовили листочки с заданием №1. Вам предлагается решить неполные квадратные уравнения. Задания трех уровней сложности: на 1 или 2 балла. В вашем распоряжении 7 минут. Желаю вам успеха. Задания у каждого ученика индивидуальные. Приведу пример заданий №1.

1 балл.

1. x2–7x=0 2. x2–16=0 3. 9x2–4=0 4. x2+4=0 5. 2x2+6x=0 6. 6x–x2=0

2 балла.

1. 4x2–3x+7=2x2+x+7 2. (x+3)(x–4) +12=0 3. (x–5)2–25=0

Слово одному из учеников. Рассказ об истории возникновения неполных квадратных уравнений.

Неполные квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2 тыс. лет до н.э. Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями. Некоторые виды неполных квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (3в.) В дошедших до нас 6 из 13 книг “Арифметика” содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах²=b.

Ребята, я вам назову слово на русском языке. Переведите это слово на латинский язык. Это “определитель”, “различитель”.

Правильно, это “дискриминант”. Решая квадратное уравнение, мы, прежде всего, находим дискриминант.

1. Назовите мне формулу дискриминанта.

2. Я начинаю предложение, а вы его закончите:

– если D>0, то квадратное уравнение имеет…
– если D<0, то квадратное уравнение имеет…
– если D=0, то квадратное уравнение…

3. Среди данных уравнений найдите уравнение, которое (Слайд 5)

– не имеет корней – имеет один корень – имеет два корня

1. x2–7x+5=0 2. x2+2x+4=0 3. x2–4x+4=0

4. При решении квадратных уравнений допущены ошибки. Найдите их (Слайд 6).

a) x2–5x–4=0 D = 52–4•1•(–4)=25-16=9>0 х= = 1 х= = 4 Ответ: 1;4>>

b) x2+3х-10=0 D=32-4·1·(-10)=49>0 х= = -2 х= = 5 Ответ: -2;5>>

b) 2х²-5х+2=0

D= 5²-4·2·2=25-16=9>0

х= =1 х= = 4

Ответ: 1;4

5. При решении квадратных уравнений мы часто используем формулы сокращенного умножения. Давайте вспомним их: (Слайд №7)

(–2x–4)2 (x+2)2 (3+2x)2

(x–9)2 25x2–9 (3x–5)(3x+5)

Слово одному из учеников. Рассказ об истории возникновения полных квадратных уравнений:

Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax²+bx+c=0 , где a>0, дал индийский ученый Брахмагупта в 7 веке. В трактате “Китаб аль-джебр валь-мукабала” хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения квадратных уравнений. Буквами a, b, c обозначены положительные числа, так как отрицательных чисел не признавали. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М. Штифелем.(1487–1567 гг.)

Приступаем к выполнению задания №2 первой части. В вашем распоряжении 10 минут (карточки №2).

1 балл.

1. x2–5x+6= 0 2. x2+8x–15=0 3. 3x2–5x+2=0 4. 5x2–6x+1=0

2 балла

1. (x–2)(x+2)=7x–14 2. (x+2)2+3x+8=0 3. = 6х-5>

Пока учащиеся выполняют задание №2, учитель проверяет задание №1. (все предварительно решены). Баллы, полученные учащимися, вносятся в таблицу, расположенную на доске.

Ребята, у каждого из вас на партах карточки с номерами 1, 2, 3, 4. Следующее задание вам будет предложено в виде тестов.

– дано уравнение x²–3x+2=0

Найти сумму и произведение корней уравнения

Первое число-сумма, второе– произведение.

1) -3; 2
2) 3; 2
3) -3; -2
4) 3; 2

– дано уравнение 2x²–5x+6=0

Найти сумму и произведение корней.

1) 5; 6
2) 2²; 3
3) 5; -6
4) -2²;-3

Что нам позволяет отвечать на подобные вопросы?

Вы правы, это именно теорема Виета. Эта теорема доказана и выведена ученым Франсуа Виетом. Достижения этого ученого в области математики настолько велики, что мы посвятим ему целую страницу нашего урока.

Учащиеся выступают с сообщениями об этом ученом, его жизни, огромном вкладе в развитие математики.

Надеюсь, вы хорошо усвоили теорему Виета и легко справитесь со следующим заданием. Выполняем задание №3 первой части.

1 балл: Найти сумму и произведение корней уравнения

a) x²+7x–5=0
b) x²–8x+l5=0

2 балла:

1. Найти сумму и произведение корней уравнения

a) 2x²–7x+6=0
b) 5x²+8x–15=0

2. Найти второй корень и р уравнения х²+рх-54=0, если первый корень равен -9.

3. Найти второй корень и р уравнения х²-7х+р=0, если первый корень равен 3.

Учащиеся выполняют задание №3 , учитель проверяет задание №2 , результаты выполнения на доске в таблице.

К решению квадратных уравнений часто сводится решение дробно-рациональных уравнений. Им посвящен следующий этап нашего урока. Нужно очень много знать, чтобы успешно решать дробно-рациональные уравнения: раскладывать на множители, находить область допустимых значений, приводить подобные слагаемые и т.д. Мы сейчас еще раз остановимся на этих важных моментах решения дробно-рациональных уравнений.

– разложите на множители: (Слайд 9)

x2+2x x2–4x 4x2+4x+1

4x2–9 x2–16

– найти область допустимых значений: (Слайд 10)

1. + =

2. – =

3. – = 5

Приступаем к заданию №4 первой части. Вы можете рассчитывать на 15 минут урока.

Задание №4 Решите дробно-рациональные уравнения. Привожу примеры заданий в карточке №4.

1 балл:

1. = 0 2. – = 0 3. =

2 балла.

1. + = 2. = 3. =

Ребята, вы молодцы, успешно справились с заданиями первой части нашей работы. Учитель подводит результаты выполнения заданий №1-№3 первой части.

А теперь мы приступим ко второй, самой серьезной части нашей работы. Вам предстоит выполнять задания повышенного уровня сложности. Задания на 3, 4 и 5 баллов. Количество набранных в этой части баллов зависит не только от уровня ваших знаний, но и от вашей сноровки и даже вашей смелости. Вы сами решаете, на сколько баллов выбирать задание для выполнения. Чтобы нам лучше вести учет баллов, мы поступим следующим образом: за выполнения задания на 3 балла вы получите треугольник, на 4 балла – квадрат, на 5 баллов – круг. Задания в коробке, разделенной на три части. Учащиеся выбирают задания сами, учитель ходит между рядами, быстро проверяет выполненные задания (все заранее решено) и выдает модели фигур. Учащиеся работаю в течение второго урока. (40 минут)

Слабо успевающие учащиеся объединены в группу, им даны для работы не сложные задания. Приведу примеры заданий на разное количество баллов.

3 балла:

1. (x²)²– 9х² + 8 = 0

2. ( х + 1)² = ( 2х-1)²

3. Решить графически: х² = 2х+3

4. При каком а уравнение имеет один корень: х² + 3ах + а = 0

5. + = 1

4 балла:

1. х² – 3х² -3х +15 = 0

2. (х² -7)² – 4(х² -7) – 45 = 0

3. Решите графически : х² =

4. – =

5. x² -6х+5=0

5 баллов:

1. 2(х²)² – 18х² – 5х² +45х = 0

2. (х²-х+1)(х²-х-7) = 65

3. +5х+6 = 0

4. х²+2|х| -15 =0

5. Решить графически :х² =

6. Постройте график функции: у = х² – 6|х| +2

Учитель подводит итоги работы на двух уроках каждого учащегося. Ученику, набравшему наибольшее количество баллов, присваивается звание “Знаток квадратных уравнений”.

Каждый ученик получает заслуженную оценку.