"Динамическая геометрия" – экспериментальный курс геометрии с использованием ИКТ. 7-й класс

Разделы: Математика


  • Изучение курса проходит в виде дополнительных занятий в компьютерном классе
  • Учащиеся выполняют задания, предложенные в документе .gsp (новый для каждого урока)
  • Содержание занятий формируются в тесной связи с конкретным учебным материалом, изученным на уроках. В этом проявляется единство работы двух учителей, работающих в одном классе: один из них работает на уроках, а другой на дополнительных занятиях.
  • По ходу занятий учитель консультирует учащихся, проверяет задания и оценивает выполнение задания в соответствии с максимальным баллом, указанным на каждой странице с заданием
  • После занятия все работы выкладываются на сайт (для возможности доделать работу дома и ознакомления родителей)
  • На сайт выкладывается презентация, составленная по работам учащихся, с образцами выполнения заданий
  • Из дополнительного задания по составлению ПАРКЕТА создается виртуальная выставка

Материалы для проведения занятий
размещены на странице школьного сайта http://188.32.250.223/

в разделе Геометрия 7-8 на компьютерах

http://188.32.250.223/2012_geom7_8/2012_geogebra_ifr.html

Представление о курсе можно получить из материалов проекта участников курса – учеников 7 класса, который называется “Хроники геометрических открытий”

Оглавление

  1. Введение
  2. Исследовательские задачи
    1. Начальные геометрические сведения
    2. Параллельные прямые
    3. Равенство треугольников
    4. Особые отрезки в треугольнике
    5. Возвращаясь к истокам
  3. Заключение
  4. Список литературы и электронных источников

Введение

Актуальность проекта обусловлена:

  • сложностью учебного предмета ГЕОМЕТРИЯ, особенно на начальном этапе его изучения;
  • традиционным подходом преподавания “от рассказа учителя к знанию, пониманию и применению”;
  • объемностью теоретического и задачного материала, требующего кропотливой работы по его изучению

Целью проекта стало создание и исследование динамических моделей в мультимедийной среде “Живая математика”.

  • Проект охватывает большой спектр заданий по начальным темам курса геометрии 7 класса (в соответствии с учебной программой). В нем представлены как базовые учебные задачи, так и исследовательские, выводящие за рамки учебника
  • Проект обладает ярким интерфейсом, позволяющим акцентировать внимание на наиболее важных моментах исследования
  • Традиционный анализ и исследования геометрических построений в программе “Живая математика” приобретает большую актуальность, но при этом проводится значительно быстрее, что позволяет охватить более широкий круг исследовательских задач.
  • Отличительной чертой проекта является иллюстрация нового подхода в изучении геометрии: от создания динамических моделей и их исследования к выдвижению и доказательству (или опровержению) гипотез.

Исследовательские задачи

1. Начальные геометрические сведения

Первая глава в учебнике геометрии называется "Начальные геометрические сведения" Приступая к изучению нового для нас предмета, мы уже имели некоторое представление о геометрических фигурах, но сейчас нам предстояло увидеть их в связи друг с другом, изучить их свойства и признаки, научиться выдвигать гипотезы и доказывать их.

В своем проекте мы хотим познакомить вас с некоторыми выводами, которые мы смогли сделать, наблюдая геометрические фигуры в движении.

Исследование №1. В одной из первых динамических моделей, которую мы исследовали на уроках динамической геометрии, была дана окружность с двенадцатью равномерно расположенными на ней точками.

Мы построили 12 отрезков, поочередно соединяющих эти точки. Затем мы построили шесть синих лучей, соединяя точки через одну, и шесть красных прямых, задаваемых остальными точками. И исследуя фигуры в динамике, мы выдвинули гипотезы об углах образованных отрезками, лучами и прямыми: При меняющихся радиусах окружности углы остаются неизменными.

 Рисунок 1 (Приложение)

Аналогичные наблюдения мы провели и при другом соединении двенадцати точек, соединяя каждую четвертую из них, что позволило выдвинуть гипотезу: “В построенных треугольниках стороны равны между собой, но меняются при изменении радиуса окружности; а углы равны и не изменяются”.

Рисунок 2

В исследовании №2 рассматривается вопрос о трех точках на прямой, расположенных так, что АВ = 4 см, ВС = 7 см. Предлагается найти длину отрезка АС. “Живая Математика” позволила достаточно легко найти два возможных решения задачи, и соответственно два ответа: в первом случае итоговый отрезок находится как сумма данных отрезков, а во втором - как разность.

Рисунок 3

Аналогичный вопрос о градусной мере угла ABD при заданных значениях углов ABC и СBD привел к обобщению решения задачи об отрезках. Здесь так же получились два возможных ответа, полученных как сумма и как разность заданных значений.

Рисунок 4

 В исследовании №3 мы рассмотрели отрезок АВ, на котором взята произвольная точка C. Затем мы построили точки M и N – середины соответственных отрезков, и сравнили длины отрезков АВ и MN. Получились два интересных вывода:

  • Если менять длину отрезка АВ, то длина отрезка MN меняется, но при этом отрезок АВ всегда больше отрезка MN в два раза.
  • При любом положении точки C на отрезке АВ длина отрезка MN не изменяется.

Рисунок 5

2. Параллельные прямые

Интересными оказались исследования динамических моделей в теме “Параллельные прямые”.

В исследовании №4 нам даны две параллельные прямые и две точки, расположенные между ними. С помощью динамических измерений нам удалось найти зависимость между углами на рисунке 6 и выдвинуть гипотезу о том, что попарные суммы измеренных углов равны.

Рисунок 6

Для доказательства данного факта мы выполнили дополнительные построения: провели параллельные прямые и увидели равные накрест лежащие углы (на рисунке 7 они выделены одинаковым цветом). Используя знания, полученные на уроках Татьяны Андреевны, мы смогли доказать замеченное нами свойство.

Рисунок 7

Последующее исследование данной динамической модели заключалось в изменении положения точек О и Т по отношению к прямым и друг к другу. И здесь мы доказали ряд фактов, о которых в учебнике упоминания нет.

В данном проекте мы предлагаем только те исследования, динамические модели к которым мы делали самостоятельно.

Оказывается, в формулировках задач не бывает лишних слов. Надо внимательно вчитываться в условие, чтобы понять суть конкретной задачи.

Задача исследования №5 сформулирована в одиннадцать слов: “Как располагается биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию”. Тем не менее, эта задача предполагает пятишаговую цепочку действий (см. рис. 8).

Наблюдая за моделью в динамике, мы смогли выдвинуть доказать гипотезу о том, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника всегда параллельна его основанию.

Рисунок 8

Продолжение исследования свойств треугольника мы покажем на примере следующей динамической модели к задаче: “Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Каково взаимное расположение прямых MD и АВ?”

Гипотезу о параллельности прямых АВ и DM нам также удалось доказать (см. рис. 9).

Рисунок 9

Центральное место в геометрии 7 класса занимают свойства и признаки параллельных прямых. В исследовании №6 нам удалось заметить и доказать интересные свойства о положении биссектрис углов, полученных при пересечении параллельных прямых секущей: биссектрисы односторонних углов всегда перпендикулярны, а биссектрисы накрест лежащих углов всегда параллельны (см. рис. 10а и 10б).

Рисунок 10 а, 10 б

3. Равенство треугольников

В исследовании №7 мы рассмотрели равные треугольники.

Треугольники называются равными, если они совпадают при наложении. Значит, чтобы убедиться в равенстве треугольников, следует провести измерения всех сторон и всех углов. При этом, чтобы доказать “неравенство треугольников”, достаточно порой одного измерения, и здесь нужна смекалка, чтобы не делая лишних действий найти верный ответ.

Рисунок 11

Затем мы познакомились с утверждениями, которые позволили делать выводы, не выполняя большого количества измерений. Эти утверждения называются ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ. В учебнике их всего три. Рассматривать каждую пару треугольников стало легче, зато сами задачи стали сложнее. Например, на рисунке 12 показано решение задачи, состоящей из трех шагов.

Рисунок 12

Если в теоремах “Признаки равенства треугольников” не учесть какого-либо условия, то теоремы окажутся неверны. Нам удалось построить примеры неравных треугольников (см. рис. 13а, 13б и 13в).

Рисунок 13а, 13б, 13в

4. Особые отрезки в треугольнике

Задачи на построение в геометрии требуют терпения и аккуратности.

Например, чтобы построить биссектрису угла Q в синем треугольнике QRS требуется выполнить такую цепочку построений из 6 шагов. Верность построения можно проиллюстрировать движением точек. Аналогично строится высота на примере оранжевого треугольника VUT и медиана в зеленом треугольнике XYZ. (см. рис. 14а, 14б и 14в)

Рисунок 14а, 14б, 14в

Научившись строить особенные отрезки в треугольнике, мы начали их исследовать. В исследовании №8 мы построили высоты в различных по виду треугольниках и увидели ее особое положение (см. рис. 15):

  • Если все углы в треугольнике острые, то высота находиться внутри.
  • Если угол С прямой, то высота совпадает со стороной BC.
  • Если угол С тупой, то высота будет лежать вне треугольника.

Рисунок 15

А когда мы построили все три отрезка в одном треугольнике из одной вершины, то смогли сформулировать новые гипотезы (см. рис. 16):

  • Биссектриса всегда находится между высотой и медианой.
  • Высота всегда будет самой маленькой, а медиана самой большой.
  • Медиана, высота и биссектриса будут совпадать, если они проведены из точки противоположной основанию равнобедренного треугольника.

Эти гипотезы пока остались недоказанными

Рисунок 16

Зато в исследовании №9 нам удалось доказать гипотезу о том, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла A, отсекает от сторон угла равнобедренный треугольник.  

Рисунок 17

5. Возвращаясь к истокам

Возвращаясь к рассмотрению самых основных фигур в геометрии, приходится согласиться с тем, что простые на первый взгляд задачи, порой содержат совсем нетривиальные решения.

Например, в исследовании №10 была рассмотрена задача: “Отметьте точки А, В, С и D так, чтобы точки А, В и С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?”.

  • Очевидной кажется гипотеза, что прямых будет 3
  • Но системно перебирая точки, кажется, что верный ответ 6,
  • Однако, если учесть, что три из перечисленных прямых являются разными именами одной и той же прямой, то мы увидим правильный ответ 4

Рисунок 18

Через 4 точки были проведены 4 прямые. А далее мы исследовали вопрос о количестве общих точек для 4 прямых и смогли привести примеры для 1, 3, 4, 5 и 6 общих точек.

Рисунок 19

Но опытным путем нам не удалось построить для 2, 7 и более точек пересечения четырех прямых. А значит, не все задачи нами решены и впереди еще много открытий.

 Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов

Заключение

В данном проекте представлены модели по основным темам курса геометрии 7 класса, кроме темы “задачи на построение”, которая в настоящее время разрабатывается нами в отдельном проекте.

В ходе создания динамических моделей мы смогли выдвинуть ряд гипотез, большинство из которых были доказаны на уроках геометрии, но значительно позднее.

Наш проект уже имел практическое приложение:

  • мы знакомились с геометрическими фигурами и их свойствами до изучения соответствующего материала на уроках материала;
  • созданные нами модели впоследствии использовались непосредственно на уроках при изучении соответствующих тем;
  • мы научились выдвигать вероятные и невероятные гипотезы, проверять или опровергать их и почувствовали радость научных открытий.

Литература и электронные источники

  1. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений /Л.С Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 16-е изд –М: Просвещение,АО”Московские учебники”, 2008
  2. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, Ю.А.Глазков, И.И.Юдина Геометрия. Рабочая тетрадь. 7 класс, Пособие для учащихся общеобразоват. учрежденений – М.: Просвещение, 2004
  3. Ершова А.П., Голобородько В.В., А.С.Ершова Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. –М.: Илекса, 2004.
  4. Короткова Л.М., Савинцева Н.В. Геометрия: Тесты: Рабочая тетрадь. 7 класс. – М.Рольф, 1999
  5. Сайт учителя математики http://asv420.narod.ru

Приложение

11.11.2013

23 апреля 14:00–15:30 | Вебинар ТерраТех, Роскосмос, ГАОУ Школа № 1306