Задачи на переливания

Разделы: Математика


Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая,  сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль 
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

Рене Декарт

Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.

В. Каверин

Введение

В этой работе приведены материалы одного занятия математического кружка, проводимого для учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г. Москвы.

Цель проведения кружка:  создание условий для развития творческой, познавательной активности учащихся при изучении математики, развитие и сохранение устойчивого и долговременного интереса к предмету.

Задачи:

  • развивать познавательные интересы  ребенка (восприятие, мышление, внимание, воображение, память и др.);
  • формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету и познавательную активность;
  • формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности;
  • развивать коммуникативные качества учащихся.

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача  пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики,  желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это, во многом, и есть главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей.

Задачи на переливания

1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы,  в одной из них оказался ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую кастрюлю.

Решения задач

1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы,  в одной из них оказался ровно один литр воды?

Решение.

Отразим результаты каждого шага переливания в таблице.

Банка 2 л

Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую банку

Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую банку

Набрать 2 л и наполнить 5-литровую банку, вылив туда 1 л

1

Банка 5 л

2

4

5

5

2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

Решение.

Фляга 4 л

0

0

2

2

2

4

Фляга 5 л

Набираем 5 л и 3 л выливаем
в банку

2
Переливаем в 4-литровую флягу

0

Набираем 5 л и 3 л выливаем
в банку

2
Переливаем в 4-литровую флягу

0

Банка 3 л

 

3
Выливаем

0

0

3
Выливаем

0

3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Решение.

Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается  4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В 9-литровое  набираем воду из реки,  выливаем оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху. Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В 9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не нужна, то ее можно вылить.

4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона. (Пользоваться другими емкостями и выливать воду не землю нельзя).

Решение.

Ведро, 8л

8

3

3

6

6

1

1

4

Бидон, 5 л

0

5

2

2

0

5

4

4

Банка, 3 л

0

0

3

0

2

2

3

0

5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь бидонами емкостью 17 л и 5 л.

Решение.

Бидон 17 л

0

5

5

10

10

15

15

17
вылить
в цистерну

0

3

3

8

8

13

Бидон 5 л

5

0

5

0

5

0

5

3

3

0

5

0

5

0

6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Решение.

Сосуд 12 л

12

4

4

9

9

1

1

6

Сосуд 5 л

0

0

5

0

3

3

5

0

Сосуд 8 л

0

8

3

3

0

8

6

6

7. Имеются два полных десятилитровых бидона молока и пустые  четырехлитровая и пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в каждую кастрюлю.

Решение.

№ шага Фляга 10 л Фляга 10 л Кастрюля 5 л Кастрюля 4 л

1

10

10

0

0

2

10

5

5

0

3

10

5

1

4

4

10

9

0

1

5

10

4

5

1

6

10

4

2

4

7

10

8

2

0

8

10

8

0

2

9

10

3

5

2

10

10

3

3

4

11

10

7

3

0

12

6

7

3

4

13

6

7

5

2

14

6

10

2

2

Дополнительные задачи и задачи для самостоятельного решения

1. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

3. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

4. Взгляни на берег – там ты увидишь  две банки. В одну из них помещается ровно два литра воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую банку точно один литр? Укажи два способа.

5. В два достаточно больших бидона как-то разлили  3 л воды. Из первого переливают  половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают половину имеющейся  в  нем  воды  в первый,  затем  из первого переливают половину имеющейся в  нем воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после  100 переливаний в них будет 2 л и  1 л с точностью до миллилитра.

6. Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину – после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?

11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое вместимостью 16 л?

12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с помощью этих бидонов разделить молоко пополам?

13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7 л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

16.02.2014