Урок по теме "Решение однородных тригонометрических уравнений". 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тип урока: комбинированный

Цели урока.

Образовательные: 

  • обобщение знаний о тригонометрических уравнениях
  • формирование умений и навыков в решении однородных тригонометрических уравнений
  • умение решать все виды тригонометрических уравнений

Развивающие: 

  • развитие познавательного интереса, логического мышления, взаимосвязи математики с жизнью
  • развитие логического мышления, памяти, внимания
  • умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные:

  • формировать интерес к данному предмету, содействовать воспитанию интереса к математике, особенно в условиях информатизации общества, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды
  • воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учебе
  • формирование умения осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль

Содержание урока.

I. Организационный момент.

Учитель:

- Добрый день, ребята!

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

- Какие виды уравнений вы знаете?

- Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделал неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по- другому?

И сегодня вы узнаете еще больше о решении тригонометрических уравнений

II. Устная работа.

Учитель:

-Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.

1.Нужно решить простейшие тригонометрические уравнения:

а) sin x=-1

б) cos x= 

в) tg x=-1

г) sin x=-

д) cos x=- 

е) tg x=4

ж) sin x=-2

з) cos x=

2. Перед вами уравнения, в течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести номер под которым стоит уравнение):

Простейшее тригонометрическое

Замена переменной

 Разложение на множители

 

 

 

 

 

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2) sin (π + x)=0;

3) 3tg 2 x + 2tg x - 1=0;

4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0;

5) sin 2х = -1

6) 2sinx – 3cosx = 0

7) cos 3x = 0;

8) cos (х – ) = ;

9) sin ( + )= ;

10) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0;

11) tg 2x + 1 = 0;

12) 3cos2x – sinx – 1 =0;

13) 2cos(  + 3x) – = 0.

III. Усвоение новых знаний

Учитель:

- Ребята, а какие уравнения остались без таблицы? (6,10)

- Как называются эти уравнения мы узнаем, разгадав кроссворд (на слайде появляется кроссворд)

hello_html_m4b0c9757.png

  1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
  2. Единица измерения углов? (Радиан)
  3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
  4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
  5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
  6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
  7. Как называется верное равенство? (Тождество)
  8. Равенство с переменной? (Уравнение)
  9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
  10. Множество корней уравнения? (Решение)

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

- Это однородные тригонометрические уравнения.

- Запишите тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

На слайде появляется запись определения однородных тригонометрических уравнений, что это уравнения вида:

а sin x + b cos x = 0, a, b ≠ 0 и

a sin2x + b sin x cos x + k cos2x = 0, a, b, k ≠ 0

Учитель:

Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cos x = 0 , то получим, что sin x = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

2sin x – 3cos x = 0,

 -  =  , cos x ≠ 0

2 tg x – 3 = 0

2 tg x = 3

tg x = 1,5

x = arctg1,5 + πn, n € Z

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z

- А теперь решим уравнение 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0;

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

- Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

- Да, каждый.

- Какой мы можем сделать вывод?

- Это уравнение однородное.

- Как мы решаем такое уравнение?

- Мы делим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, так как косинус и синус не могут одновременно равняться нулю.

3sin2x – 4sinx cos x + cos2x = 0;

 -  +  =  ,  ≠ 0

3tg2x – 4tgx + 1 = 0

Обозначим tg x = y

3y2 – 4y + 1 = 0

у1 = у2 = 1

tg x =  tg x = 1

x1 = arctg + πk, k € Z x2 =  + πn, n € Z

Ответ: x1 = arctg + πk, k € Z, x2 =  + πn, n € Z

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sin x = 2 cos x – однородное

2. sin3x – cos 3x = 0 – однородное

3. sin2x – 2sin x – 3 = 0 – квадратное

4. 2cos2x + 3sin2x + 2cos x = 0 – квадратное

5. 6sin2x – cos2x – 5sin x cos x = 0 – однородное

Решить у доски уравнения:sin3x – cos 3x = 0

 -  = , cos 3x ≠ 0

 tg3x – 1 = 0

tg3x =

3x = arctg + πn, n € Z

3x =  + πn, n € Z

x =  + , n € Z

Ответ: x =  + , n € Z

2) 6sin2x – cos2x – 5sin x cos x = 0

 -  -  = , ≠ 0

6 tg2x – 1 – 5 tgx = 0

Обозначим tg x = y

6y2 – 5y - 1 = 0

у1 = у2 = 1

tg x =  tg x = 1

x1 = -arctg + πk, k € Z x2 =  + πn, n € Z

Ответ: x1 = -arctg + πk, k € Z , x2 =  + πn, n € Z

IV. Проверка усвоения нового материала.

Самостоятельная работа

I вариант

II вариант

Решить уравнения:

а) 3sin x – cos x = 0;

б) cos2x + sin2x = 0;

в) 2sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 0.

а) sin x + 3cos x = 0,

 sin5x + cos5x = 0

в) 2sin2x + sinx cosx - 3cos2x = 0

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их.

V. Подведение итогов.

- С каким видом уравнений познакомились?

- Как решаются эти уравнения?

-Что имеем после деления?

- Имеются ли у вас вопросы по решению однородных уравнений?

Домашнее задание №18.11,18.12

- К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

- Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.