В работе предлагаются решения сложных заданий (№13 - №19) ЕГЭ-2016 по математике профильный уровень. Представленный здесь материал предназначен для подготовки к ЕГЭ учащихся, имеющих навык в решении заданий подобного уровня сложности. Задания №13, №14, №15 могут быть предложены сильным учащимся обычных классов, а вот задания №16, №17, №18, №19 целесообразно решать только с учащимися физико-математических классов, причем №19 под буквой «в» под силу только тем, кто имеет определенную подготовку в решении олимпиадных задач. В заданиях №14, №15, №16, №18 предлагается по два способа решения.
Для оформления решений использована мультимедиа презентация, где материал, представлен наглядно в ярком, интересном и доступном виде, что для учителя и учащихся будет ценно и полезно. Эту презентацию можно применять как на уроке, так и для индивидуальной работы.
Условия заданий
№13.
а) Решите данное уравнение.
№14.
В правильной четырехугольной призме 
сторона основания АВ равна 6, а ребро 
равно 
. На ребрах BС и 
отмечены точки K и L соответственно, причем 
. Плоскость 
параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
.
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
№15.
№16.
В треугольнике АВС угол АВС равен 
. Окружность, вписанная в данный треугольник, касается стороны АС в точке М.
а) Докажите, что отрезок ВМ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите синус угла ВМС, если известно, что отрезок ВМ в 2,4 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
№17
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей:
| Месяц игод | Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
Долг (в млн. руб) |
S |
0,8S |
0,4S |
0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая выплата будет больше 7 млн. рублей.
№18.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух решений.
Решение заданий № 13 - № 18 оформлены в презентации.
№19.
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 33. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 40 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 6 ходов.
б) Можно ли сделать 11 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Решение.
