Методика изучения задач повышенной трудности, связанных с наибольшими и наименьшими значениями в курсе средней школы

Разделы: Математика


С ростом педагогического опыта, подготовка учителя к уроку приобретает еще большее значение, чем в начале его трудового пути.

Планирование учебного материала, продумывание его структуры и содержания, включает в себя два, на первый взгляд противоречащих друг другу, аспекта.

С одной стороны учитель сообщает учащимся главное содержание темы, наиболее важные вопросы, подлежащие контролю, учит отличать основное от второстепенного. С другой стороны наиболее сильно воздействующие на эмоциональную сферу элементы необходимо держать в секрете. Интеллектуальное потрясение, испытываемое школьниками при знакомстве с необычными, красивыми идеями, примерами, взятыми из “пограничных районов”, во многом определяет их отношение к предмету. Внимание к деталям, о котором так вдохновенно писал Е.Н.Ильин, необходимо учителю математики не в меньшей степени, чем словеснику. Мне идейно близок генезис слова “технология” в его ранней интерпретации - от греческого - что означает “искусство”. В своем понимании педагогической технологии я отталкиваюсь от двух тезисов патриарха мировой методики математики Дьердя Пойа, чьи работы, вероятно, определяют развитие педагогических идей в грядущем тысячелетии. “Преподавание — это ремесло, и как каждое ремесло оно владеет массой приемов и хитростей. У каждого хорошего учителя имеются свои приемы, и этим каждый хороший учитель отличается от любого другого хорошего учителя.”

При продумывании темы к подготовке к урокам, я опираюсь на понятие монтажа. Так как имела опыт работы в профильных классах обычной средней школы, и, в отличие от специализированных математических классов и инженерно-технических классов в лицеях, в обстановке постоянного дефицита времени, большое значение приобретает устное решение задач, или, иногда, без подробной записи.

Несмотря на всю загадочность творческого процесса, есть, вне всякого сомнения, определенные общие приемы, которые сознательно или, чаще всего, бессознательно используются представителями искусства и науки.

Я в течение продолжительного времени использую монтажные приемы при разработке структуры и содержания изучаемой темы и подготовке отдельных уроков, а также наблюдаю сходную картину у многих замечательных преподавателей включения техники монтажа, вероятно, бессознательно.

Важнейшим практическим выражением этих идей можно считать в школьном преподавании “уроки одной задачи”, когда при решении проблемы сталкиваются различные методы и происходит поиск “оптимального решения задач на оптимизацию”, а также “уроки одного метода”, когда сталкиваются задачи из различных разделов. Все это значительно повышает эффективность урока.

Понятие о монтаже чрезвычайно подвижно и может расширяться и углубляться, обогащая педагогический процесс новыми творческими находками. Касаясь темы изучения вопросов, связанных с наибольшими и наименьшими значениями, необходимо подчеркнуть, что здесь особенно важна структура: не только как подготовлены отдельные элементы урока, но, прежде всего то, как они скомбинированы, то есть каким образом произведен их монтаж.

Одной из особенностей применяемой мной технологии является разработка урока для отдельного ученика в рамках общей концепции создания индивидуальной стратегии обучения для каждого.

Учет индивидуальных особенностей учащегося, пробелов в знаниях, выясненных задатков, личной цели в обучении позволяет на конкретном материале разработать эффективное средство эмоционального и педагогического воздействия на учащегося, заинтересовать его математикой на длительный период. При этом не является парадоксальной и повышенная эффективность подготовленного урока для всех остальных учащихся класса. Подобная адресная технология не является новой, например, для художественной литературы: подавляющее большинство оставшихся в мировой сокровищнице литературных произведений — стихов и прозы - создавались, как хорошо известно, для совершенного определенного адресата, а стали достоянием всех. Произведения же, предназначенные для всех, носят печать ремесленничества, не представляя собой явления культуры.

Цикл упражнений на наибольшее и наименьшее значение для квадратного трехчлена, или функций вида f(x) = axnb/xn, при этом можно решить всем классом в сжатые сроки. Другим технологическим приемом является составление задач и их устное обсуждение по готовым чертежам. Следует отметить, что при пользовании этим приемом очень важно соблюдать чувство меры, так как решение большого числа однотипных может быстро наскучить учащимся. Особое внимание надо уделить зрительному воздействию.

Действительно, решая задачу на построение (или на доказательство), можно первый шаг выполнить красным цветом, второй - оранжевым, третий - желтым и т.д. В результате цвета радуги, знакомые всем учащимся, помогают быстрее осмыслить структуру решения задачи, обойтись без лишних записей. Достаточно бросить взгляд на такой рисунок, как рассуждения оживают перед глазами учащихся.

Большое познавательное значение имеет решение обратных задач. Задачи на максимум и минимум в этом отношении представляют благодатное поле деятельности Кроме того, такие задачи, как правило, имеют богатое практическое содержание. Следует отметить, что решение прикладных задач на максимум и минимум лучше всего удается в тех классах, где достаточное внимание уделялось решению текстовых задач. В определенном смысле задачи на наибольшее и наименьшее значения являются их методологическим развитием.
Таким образом, учитель должен предлагать классу не унылые задачи на дифференцирование и нахождение наибольшего или наименьшего значения на отрезке, а задачи, воздействующие на эмоциональную сферу, заставляющие работать безмолвствующие до этой поры клетки серого вещества. Очень важно, чтобы к прикладным задачам учитель относил не проблемы, связанные с расчетами оптимального объема овощехранилища или наименьшей ширины канавы, а задачи, которые заставляют проанализировать весь текст, найти предельные и особые случаи, исследовать их, привлекая графические, наглядные, аналитические и численные методы. Говоря словами академика Ю.И.Манина, «это задачи, которые делают нас умнее».

Огромную роль играет вариативный подход к решению задач на экстремумы и наибольшие и наименьшие значения.

Действительно, одним из краеугольных принципов интенсивного обучения является приоритетность решения одной задачи несколькими методами перед решением одним и тем же методом нескольких упражнений. Задачи на наибольшие и наименьшие значения, вероятно, являются наиболее благодатным материалом для этого аспекта интенсивного обучения и активизации резервных возможностей личности.

Начиная с самых первых задач этого типа, необходимо подвести учащихся к твердому убеждению о существовании самых различных подходов к решению.

В дальнейшем последовательное применение этого принципа авторской технологии дает следующие преимущества:

1. Учащиеся получают возможность проверить решение (особенно во время контрольных или экзаменационных испытаний).

2. Учитель имеет возможность дать домашнее задание, в котором нужно найти еще одно решение уже разобранной задачи - это обычно посильно для всех учащихся.

З. При этом снимается психическая нагрузка: задача уже решена, нужно только проявить упорство (всем известно стремление учащихся у “сверке ответов”).

4. Наличие нескольких способов решения необыкновенно плодотворно для одной их сторон авторской технологии: работы в парах, в том числе и у доски, когда двое учащихся после обсуждения за дачи и дискуссии о том, какой метод предпочтительнее, решат каждый перед классом своим способом, предоставляя другим судить об оптимальности выбранного пути. Разумеется, в этом случае подбор таких пар учителем должен быть произведен на основе достаточно длительного изучения класса, вкусов и наклонностей каждого ученика.

5. Достигается, наконец, одна из важнейших задач обучения - воспринимать решение эстетически, ценить его красоту и глубину, добиваться оптимального решения, критически относиться к себе, таким образом, решается целый спектр воспитательных и дидактических задач.
Здесь уместно упомянуть о месте домашних заданий в авторской концепции интенсивного обучения.

Учитель может многого достичь, если разнообразит домашнюю работу такими поручениями, которые не похожи на обычные домашние задания, например:

1. “Помогите мне составить контрольную работу для параллельного класса, придумайте, пожалуйста, по одной задаче на наибольшее и наименьшее значения, но только так, чтобы она решалась хотя бы двумя способами”;

2. Объявить анонимный конкурс (под девизом) на составление задач - в соавторстве с М.Гарднером, И.Ф.Шарыгиным, Я.Перельманом и др.

Задачи, связанные с наибольшим и наименьшим значением величин, достаточно содержательные, чтобы стать естественной базой для подготовки учащихся к олимпиадам. Кроме обычных “школьных” алгоритмов в этом случае исключительно плодотворно рассмотрение “принципа крайнего” и метода ранжирования, с изучения которых очень удобно начинать знакомство с типично “олимпиадными” приемами. Если учитель систематически рассматривает задачи на “максимум и минимум”, то олимпиадная тематика уже никогда не покажется учащимся чем-то непосильным.

В соответствии с уровнем сложности и допустимости задач на наибольшее и наименьшее значения автор опыта рассматривает следующие основные этапы их изучения:

1. Арифметические задачи;

2. Метод перебора;

3. Планиметрические задачи;

4. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим;

5. Задачи, связанные с квадратным трехчленом;

6. Задачи с целыми числами;

7. Векторы и скалярное произведение на плоскости;

8. Тригонометрические выражения;

9. Производная, экстремум функции;

10. Применение производной к планиметрическим задачам;

11. Применение производной к физическим задачам;

12. Векторы и скалярное произведение в пространстве;

13. Стереометрия;

14. Логарифмическая и показательная функции;

15. Интеграл;

16. Применение интеграла к решению уравнений и неравенств.

В технологической схеме задачи на наибольшее и наименьшее значения рассматриваются не как самоцель, хотя роль их велика, а частотность на экзаменах - вступительных и выпускных исключительно высока, но как необходимый этап для дальнейшего совершенствования в решении других задач.

Так, например, умение решать эти задачи позволяет применять полученные результаты для доказательства и решения неравенств, уравнений и систем, относящихся к категории нестандартных (метод оценок, метод мажорант), делая их тем самым алгоритмизируемыми, то есть, мы формируем, таким образом, стандартные методы для решения нестандартных задач.

Среди подобных приемов особую методическую ценность и эстетическую привлекательность имеют, безусловно, задачи, связанные с векторами и скалярным произведением

12.12.2018