Основы теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики – особенности изучения

Разделы: Математика


В настоящее время теория вероятностей и математическая статистика завоевали важные позиции в науке и прикладной деятельности, сопряженной со многими областями жизнедеятельности общества.

Теоретические идеи, методы и результаты данной дисциплины используются не только во многих естественных и технических науках, но и в социологии, психологии, экономике, планировании, организации производства, демографии, медицине, экологии и др.

Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются сложным законам теории вероятностей, невозможна продуктивная деятельность людей ни в одной сфере жизни общества.

Конечно, в школьном курсе математики изучение основ теории вероятностей имеет некоторые особенности. С одной стороны это достаточно ёмкий и тяжёлый процесс, который трудно усваивается порой даже в более сознательном возрасте, не говоря уже о школьном. Но современная действительность требует от школы не только знающего, но и думающего, действующего человека. Именно осмысление, обдумывание и понимание вероятностных задач и проблем развивает комбинаторное мышление, необходимое в современном мире повсеместно.

Поэтому на данный момент никто не сомневается в необходимости включения данной дисциплины в школьный – пропедевтический курс, так как она помогает развивать у школьника ряд навыков, которые пригодятся ему не только в дальнейшем обучении, но и в жизни в целом. Школьник, обладающий основными вероятностными навыками, использует их в жизни с гораздо большей частотой, что в свою очередь вызывает снижение тревожности ребёнка при принятии необходимых решений. 

Прикладной и наглядный характер теории вероятностей позволяет производить закрепление математических знаний разных разделов математики даже при дифференцированном подходе к обучению.

Нужно научить школьников мыслить, учитывая всякого рода вероятности. То есть важно научить их получать, анализировать и обрабатывать информацию, совершать взвешенные, обдуманные поступки в различных ситуациях с неожиданными исходами. Школьники в своей жизни каждый день сталкивается с такими ситуациями.

Игра и кураж занимают определенное, значимое место в их жизни. Все эти вопросы, связанные с сопоставлением понятий «достоверность» и «вероятность», трудность выбора лучшего из нескольких вариантов действия, оценка вероятности успеха и фиаско, представление о добре и зле, в играх и в настоящих жизненных ситуациях – все это, конечно, находится в кругу истинных и нужных увлечений подростка.

Важность прикладного характера математики – как описательного языка науки и техники, так и средства моделирования явлений и процессов, в том числе из повседневной жизни подчеркивается в ФГОС.

Математическая деятельность школьников обязательно выходит за рамки готовых вероятностных моделей. Выполнение школьниками заданий, которые в дальнейшем помогают принимать решения в реальных жизненных ситуациях, играет огромную роль и требует правильного и опытного преподавания материала педагогом. Знание теории вероятностей и математической статистики – один из самых главных факторов перспективной деятельности учителя математики. Нужен многосторонний  взгляд на особенную методологию, включающую вероятностные и статистические выводы в их взаимосвязи. Учитель должен досконально знать и осознавать причины появления риска совершения неверных решений в ходе анализа событий, происходящих в виду случая. Обманчивое понимание, например, может возникать из-за малой статистической информации.

У учителей появляются необычные подходы к обучению. Преподаватель, определяя уровень знания школьниками всякого рода вероятностных навыков, может столкнуться с некоторыми трудностями, например, при решении задач школьникам часто приходится, мыслить, а не действовать строго по алгоритму, правилам, поэтому их ответы на одни и те же вопросы могут быть разными. В данном случае задачей преподавателя будет оценка права на ошибку ученика, поскольку она носит возможный характер. Поэтому не мало важно разграничение уровня умений и навыков индивидуально и без помощи посторонних делать выводы об изученном. Приступая к преподаванию ученикам «Теории вероятностей и математической статистики», педагог обязан осознавать, почему появилось необходимость введения в курс обучения новой программы. Правильное понимание преподавателем в школе целей обучения, ясное представление их соотношения с математикой и места данного раздела в ряду других тем, знание конечных требований к данной подготовке учеников – главное для учителя математики в реализации новой линии.

Нельзя не отметить и то, что обучение любому разделу математики положительно сказывается на умственном развитии подростков, потому как наделяет их навыками правильного логического мышления, опирающегося исключительно на верные и нужные понятия. Всё перечисленное в полном объеме относится и к обучению теории вероятностей, но преподавание «Закона случая» имеет гораздо большее значение, выходя за область обычного.
Изучая курс теории вероятностей, ученик начинает понимать, как применять приёмы логического мышления тогда, когда сталкиваешься с неопределённостью (а таких случаев на практике огромное множество). Если подходить детально и поэтапно, то школьный курс теории вероятностей начинается уже в 5 классе. Началом теории вероятностей является комбинаторика, где задачи решаются методом перебора, то есть учащиеся исследуют все возможные варианты решения. Разумеется, необходимо рассматривать решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов.

Например:  №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 используя в записи числа каждую из них не больше одного раза?

№2.  Постройте все слова, которые можно получить из слова ТОК перестановками его букв. Сколько из них имеет смысл?

Следующий этап обучения учащиеся - это рассмотрение событий: случайных, достоверных, невозможных, равновозможные, равновероятные события,  которые иллюстрируются на житейских примерах. Необходимо также рассмотреть правило умножения, которое является новым средством решения комбинаторных задач, которое звучит так: «если первый элемент некоторой пары можно выбрать m способами и для каждого из этих способов второй элемент можно выбрать n способами, то эту пару можно выбрать m*n способами». Необходимо проиллюстрировать возможности данного правила на конкретных примерах.

Например:

Задача. В 5а классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?

Решение. 1-й урок можно выбрать 4 способами, 2-й урок – тремя способами, 3-й урок - двумя способами, 4-й урок – одним способом.

Всего: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способа.

Набор разных задач.

№ 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7?

№ 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7, при условии, что цифры не должны повторяться?

№ 3. Вороне где-то бог послал кусочек сыра, а также брынзы, колбасы, белого и черного хлеба. На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж собралась, да призадумалась: сколькими способами можно составить бутерброды из этих продуктов?

Отдельной главой необходимо рассмотреть основные статистические характеристик: среднее арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество), мода (модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто), размах (размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных),  медиана (медиана — это число, которое разделяет ряд данных на две части, одинаковые по количеству членов), которые должны иллюстрируются множеством примеров из жизни.

Самое важное в обучении это рассматривать примеры, связывающие с практикой, описываются различные жизненные примеры, которые будут полезны и интересны школьникам.

Далее в старших классах изучаются статистические исследования, вводится определение статистики (наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни), рассматриваются новые понятия: выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки.

Вводится новый способ графического представления результатов - полигоны.

Например:

1) заполните таблицу абсолютной и относительной частот;

2) постройте полигон частот.

Задание 1. В 7 классе были получены следующие данные о росте 20 девочек : 163 166 167 162 158 159 160 163 159 157 160 162 165 157 163 166 164 160 157 155

Задание 2. 20 участников олимпиады по математике за 2 тура набрали следующие количество баллов: 45 50 58 50 58 59 51 53 54 57 60 57 55 50 51 56 58 46 59 55

Изучаются новые понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

Изучение последних требует не только понимания основ, данных ранее, но и более детального и внимательного отношения, так как в математике, как и в жизни – чем дальше, тем сложнее. Как и во всех дисциплинах, так и в школьном курсе изучения теории вероятностей существует своя особенная методика изучения теорем, основными из которых являются теорема сложения вероятностей и следствия из них и теорема умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей: «вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий», и, соответственно формула к данной теореме:    Р (А + В) = Р(А) + Р(В).

Теорема умножения вероятностей «Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло», формула к ней выглядит так: Р (АВ)=Р(А)*Р(В/А).

Наряду с данными теоремами в курсе математики изучается и теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. В процессе изучения операций над событиями необходимо использовать как можно больше примеров, которые отражают не только суть этих операций, но и отличия в них. Ученики легко находят и сумму, и произведение событий, используя определение. Сложность заключается в том, чтобы сформировать у них понимание и осознание сущности операций над событиями. Для этого можно использовать различные задания по работе с операциями над событиями.

Например:

№ 1. В урне 3 красных и 5 желтых шаров. Какова вероятность того, что будут выбраны два шара одного цвета?

№ 2. Бросают два кубика. С какой вероятностью будет выброшена хотя бы одна шестерка?

Решение: Событие А: шестерка выпала на первом кубике.

Событие В: шестерка выпала на втором кубике.

Проблема, с которой можно столкнуться при объяснении данной темы заключается в сложности выделения простых событий. Всё дело в опыте, чем больше задач решено, тем больше понимания и минимум ошибочных суждений. Изучение данной темы приведёт учащихся к гораздо детальному пониманию и осмыслению таких понятий, как «элементарные события», «несовместные события», «достоверные события», «невозможные события», «противоположные события», так как все эти понятия могут быть определены на основе операции над событиями.

Одним из наиболее важных подходов с практической точки зрения является статистический подход к определению понятия «вероятности». Его реализация рассматривается как следующий этап формирования теоретико-вероятностных представлений у учащихся. Освоение статистического определения понятия «вероятности» важно для последующего его применения в разделах математической статистики для оценки статистических характеристик широкого класса явлений различного характера.

Практика показала, что изучения теории вероятностей очень трудоёмкий и тяжёлый процесс для обучающихся в школе, и настолько же тяжёл он и для преподавателей, с точки зрения его передачи ученикам. Поэтому он не упрощает каких-либо ошибок и недочётов, прежде всего потому, что он последователен, структурен, и каждая частица его структуры дополняет друг друга.

Литература

  1. Морозова Е.В. Пути развития логического мышления и логической рефлексии учащихся в условиях модернизации школьного образования // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5;
  2.  Мерзляк А.Г., Полонский  В.Б., Якир М.С. Математика. 5 класс, 6 класс. ОИГ «ДРОФА» - «ВЕНТАНА - ГРАФ », 2016
  3. Мерзляк А.Г., Полякова В.М. Алгебра. 8 класс, 9 класс (углубленный уровень). ОИГ «ДРОФА» - «ВЕНТАНА - ГРАФ», 2016
  4. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни. Учебник. /Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В./ «Просвещение» — М. : Просвещение, 2016.
  5. Н.Л.Стефанов, Н.С.Подходов. Методика и технология обучения математике. Курс лекций : пособие для вузов /. — М. : Дрофа, 2005.
  6. https://1сентября.рф/
  7. Интернет-ресурсы

15.05.2019