Урок по теме: "Логарифмические уравнения"

Цели:

• рассмотреть различные способы решения логарифмических уравнений;
• классифицировать логарифмические уравнения по методам их решения.

ХОД УРОКА

I. Определение.

Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма (или то и другое одновременно).

Трудная задача – научиться решать логарифмические уравнения будет несколько упращена, если уравнения классифицировать по методам их решения.

II. Логарифмические уравнения.

1. Решение уравнений, основные на определение логарифма:

log_b a = x; b^x = a ; а > 0; b > 0; b=/=1
log₃ (5 + log₃(x – 1)) = 2,
5 + 4 log₃ (x + 1) = 3²,
4 log₃ (x – 1) = 9 – 5,
log₃ (x – 1) = 1,
x – 1 = 3
x = 4

Главная особенность при решении логарифмических уравнений состоит в необходимости внимательно следить за ОДЗ.

Проверка, которая является частью решения этого уравнения, подтверждает правильность полученного результата.

Ответ: х = 4

2. Решение уравнений потенцированием.

Заметим, что переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их, называют потенцированием. Возможность этого перехода основана на следующих теоремах:

log_ax = log_an₁ + log_an₂ = log_a(n₁ – n₂), отсюда получаем
x = n₁•n₂ (x > 0, n₁ > 0, n₂ > 0, a > 0, a =/= 1)
log_ax =  log_a n₁ –  log_a n₂ = log_a = n₁/n_2, x = n₁/n₂
log_ax = k log_an = log_an^k, x = n^k ( n > 0)
log_ax = 1/n log_am = log_am1/n, x = m ^1/n = ⁿm (m > 0)
log_ax= m/n log_an = log_an^m/k, x = n ^{m k} = ^kn^m (n > 0)
log₂ (3 – x) + log₂ (1 – x) = 3
log₂ ((3 – x)(1 – x)) = 3
(3 – x)(1 – x) = 8
x² – 4x – 5 = 0
x₁ = 5 x₂ = – 1

Найдём ОДЗ:

Составление найденных значений x с ОДЗ показывает x = –1– корень уравнения

Ответ: x = –1.

3. Применение основного логарифмического тождества.

a^{loga x} = x ; x > 0, a > 0, a =/=1
log₂(9 – 2^x) = 10 ^{log (3–x)}
log₂(9 – 2^x) = 3 – x
2^3–x = 9 – 2^x
2^2x – 9 • 2^x + 8 = 0
2^x = 1; 2^x = 8
x = 0 x = 3

Вывод: x = 0 – корень уравнения.

Ответ: х = 3.

4. Логарифмирование.

(x=1) ^log(x=1)= 100(x=1)
Найдём ОДЗ: x + 1 > 0 = > x > –1
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10
log(x + 1) • log(x + 1) = log100 + log(x + 1)
Обозначим log(x + 1) = t
Тогда уравнение примет вид:
t² – t – 2 = 0
t₁ = – 1, t₂ = 2, т.е.
log(x + 1) = – 1 log(x + 1) = 2
x + 1 = 1/10 x + 1 = 100
x = – 0,9 x = 99

Ответ: x₁ = – 0,9, x₂ = 99

5. Замена переменного.

(logx)² –  logx³ + 2 = 0
введём переменную t =  logx, x > 0.
Исходное уравнение примет вид t² – 3t + 2 = 0
t₁ = 1; t₂ = 2
logx = 1 logx = 2
x = 10 x = 100

Ответ: x₁ = 10, x₂ = 100

6. Переход к другому основанию:

log₂b = log_xb/ log_xa;

x > 0, x=/=1
a > 0, a=/=1
b > 0

1 + log₂(x + 1) =  log_(x–1)⁴
ОДЗ: x =>1, x=/=2
По свойству: log_(x–1) 4 = log₂4 log₂(x – 1) = 2/log₂(x – 1)
Обозначим. log₂(x – 1) = y.
Тогда исходное уравнение примет вид: 1 + y = 2/y; или y² + y – 2 = 0 (y =/= 0, т.к. x =/= 2)
Имеем: log₂(x – 1) = – 2, x – 1 = 1/4, x₁ = 5/4
log₂(x – 1) = 1, x – 1 = 2, x₂ = 3

Ответ: x₁=5/4, x₂=3

III. Самостоятельная работа.

Решите самостоятельно уравнения:

1. log₄(2 log₃(1+ log₃x))) = 1/2
2. log_5–x(x² – 2x + 65) = 2
3. log₇(2^x – 1) + log₇(2^x – 7) =1
4. 3 ^log₃ ^logx – logx + log²x – 3 = 0
5. 9 ^log₃^(1–2x) = 5x² – 5
6. x^{1+ logx} = 10x
7. (logx/2) ^{log 2}_x^+log _x^{2– 2} = logx
8. log² ₂x + 2 log₂x – 2 = 0