Комплексные упражнения с функциями вида y = min f (x); g(x) или y = max f (x); g(x)

Разделы: Математика

В статье предлагается подборка комплексных упражнений, которые содержат функции вида: y=min {f(x); g(x)} или y=max {f(x); g(x)}.

Привлекательность и полезность этих упражнений состоит в том, что, приступая к их решению, учащиеся часто теряются и не могут понять, по какой теме работать. Комплексные упражнения объединяют несколько тем из курса математики (уравнения, неравенства, графики), причем учат обращать внимание на “тонкости” при тождественных преобразованиях, после которых задание становиться достаточно простым.

Такие комплексные задания дают на олимпиадах, на экзаменах в различные вузы страны, в заданиях ЗФТШ при МФТИ и даже в “заданиях для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл.” авторов Л.И. Звавича, Д.И. Аверьянова, Б.П. Пигарева, Т.Н. Трушаниной.

Статья рассчитана на учителей математики, на учащихся специализированных математических классов и лицеев физико-математического профиля, а также для обычных классов при подготовке к олимпиадам и для поступления в вузы.

Знакомство с комплексными упражнениями, которые содержат функции y=min {f(x); g(x)} или y=max {f(x); g(x)}.

Из методички ЗФТШ при МФТИ по теме: “Функции и их графики”

Задание: решить самостоятельно, построить графики функций

  1. f(x) = min {|x|-2|, x = 2}
  2. f(x) = min {x2 - 3|x| + 2, x + 2}.

Из “Решения задач повышенной сложности” автор С.Л. Евсюк.

116. Найти значения x, для которых  min {1-x2, (1+x)/2} 0,5.

Заметим, что неравенство min{1-x2, (1+x)/2} 0,5 равносильно совокупности двух систем

Решая четные неравенства, получаем x = 1/2.

Ответ: x = 1/2.

Из “Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл.”

Авторы Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушанина.

Пусть max{f(x); q(x)} обозначает наибольшее из значений функций F(x) и q(x) для данного x, а min{f(x); q(x)} – наименьшее. Найдите все x, для которых выполняется соотношение (2.250–2.252):

2.250. а) max {; 5x – 4} x; б) min {; 3x– 2} x.

2.251. а) min {; x+ 6x}7; б) max {; x– 7x} 8.

2.252.

а) min {2 x– x – 4; x+ 3x + 1} = 3x + 12;

б) max {x+ x – 5; – 2 x+ 7x +4} = x –1.

Решение этих заданий

2.250. а) Найдите все x, для которых max {; 5x – 4} x

или

или

или

или .

Ответ: .

2.251 а) Найти все x, для которых min{; x+ 6x}7.

Достаточно найти все x, удовлетворяющие хотя бы одну из систем:

или

Ответ: x или x.

2.252 а) Найти все x, для которых

min {2 x– x – 4; x+ 3x + 1} = 3x + 12.

Ответ: x=4 или

б) max {x+ x – 5; – 2 x+ 7x +4} = x –1.

Выясним сначала, когда x+ x – 5– 2 x+ 7x +4. Получаем:

Тогда:

Ответ:

Из пособия “Комплексные упражнения по математике с решениями 7–11 классы”

Автор А.В. Столин

№ 144*

№ 145*

№ 146*

№ 147*

№ 148*

№ 149*

№ 150*

№ 151*

Из задачника “Начала анализа” авторы В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко.

Самостоятельно: построить графики:

Список литературы:

  1. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл. авторы: Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушанина.
  2. Решение заданий повышенной сложности. Автор С.Л.Евсюк.
  3. Начала анализа. Авторы: В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко.
  4. Комплексные упражнения по математике с решениями 7–11 кл. автор А.В. Столин.