Цели:
- формировать навыки решения задач с неопределённым условием;
- cпособствать воспитанию общекультурных ценностей
- развивать внимание при решении задач.
Ход урока
1. Организационный момент. Объявление темы и целей урока.
2. Повторение.
а) запись натурального числа А с n знаками;
б) определение и свойства арифметической прогрессии;
в) решение неравенств второй степени.
3. Введение материала.
Предлагаемые в большинстве случаев текстовые задачи решаются с использованием уравнений и их систем. Однако всё чаще встречаются задачи, которые с помощью одних уравнений решить нельзя. Это так называемые задачи с неопределённым условием. На самом деле эта неопределённость только кажущаяся. Для их решения необходимы не только уравнения, но и неравенства, их системы, а иногда и некоторые дополнительные условия, явно не указанные в задаче.
Рассмотрим несколько таких задач.
1. Найти трёхзначное число, которое делится на 45, и цифры которого, прочитанные в обратном порядке, образуют арифметическую прогрессию.
Решение: пусть в искомом числе Х сотен, У десятков и Z единиц. Так как числа Z, Y, X образуют арифметическую прогрессию, то Y=(Z+X):2. Так как искомое число делится на 45, то оно делится на 5 и на 9. А это значит, что искомое число оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, и в каждом из этих случаев сумма его цифр делится на 9. Поэтому приходим к совокупности двух систем уравнений (отличающихся только первым уравнением):
| Z=0 | Z=5 |
| Y=(X+Z):2 | Y=(X+Z):2 |
| X+Y+Z=9K; | X+Y+Z=9K, K N. |
Из первой системы находим
X=2Y
X+Y=9K.
Перебрав целые значения У от 1 до 9, убеждаемся, что этой системе удовлетворяют лишь пары (6;3), (12;3); (18;9). Однако по смыслу задачи Х и У – целые числа с условиями 1<X<9, 0<Y<9. Этим условиям удовлетворяет пара (6;3).
Из второй системы находим
2Y=X+5
X+Y+5=9K.
Аналогично, перебрав целые значения У от 1 до 9, убеждаемся, что решениями второй системы уравнений являются пары (1;3), (7;6).
Таким образом, условиям задачи удовлетворяют следующие три числа: 630, 135, 765.
2. Для перевозки животных было выделено некоторое число вагонов из расчёта разместить в каждом по 12 животных. На станции часть животных сдали, а оставшихся разместили так, что 2 вагона оказались лишними, при этом число животных в каждом вагоне стало простым и на 14 больше нового числа вагонов. Сколько животных было первоначально?
Решение. Обозначим число вагонов через n, тогда первоначальное число животных 12n. Новое число вагонов, как это следует из условия, равно n-2, а новое число животных в каждом из вагонов n+12.
Но неизвестно число сданных животных. Пробуем рассуждать: так как первоначальное число животных больше, чем осталось, то составим неравенство 12n>(n-2)(n+12), решением которого будут все числа из интервала(-4;6). Ограничиваясь целыми положительными числами, получaем n принадлежит интервалу (0;6).
Из условия также видно, что, поскольку 2 вагона оказались лишними, общее их число было, по крайней мере, не меньше 3, т.е. n принадлежит промежутку [3;6). И, наконец, новое число животных в вагоне простое. Легко сообразить, что это число равно 5, так как, прибавив к нему 12, получим простое число 17, а числа 16 и 15 простыми не являются. Таким образом, n=5, а первоначальное число животных равно 60.
4. Усвоение знаний, выработка навыков решения задач.
А) Прибывших на парад солдат планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 человека. Но в действительности не все прибывшие смогли участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду на 26 больше нового числа рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду. Сколько солдат прибыло на парад?
Решение. Обозначим первоначальное число рядов n, тогда прибыло 24n солдат. После построения число рядов стало n-2, а число человек в ряду n+ 24. Как в предыдущей задаче составляем неравенство 24n>(n-2)(n+24). Решая его, получаем, что число рядов лежит в интервале (-6;8).Но мы использовали ещё не все условия. Число рядов может быть лишь целым и положительным, поэтому (0;8), т. е. всего семь чисел от 1 до 7. А если ещё учесть перестройку квадратом, то из первоначального числа (24n) должен извлекаться корень. Единственное число, удовлетворяющее последнему условию, это число 6, а соответствующее число солдат равно 144.
Б) Бригады рабочих получали одежду на складе по 2 комплекта. Каждая бригада получила на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой выдавали по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов было на складе?
Решение. Пусть было Х бригад и в каждой n рабочих. Тогда число комплектов на бригаду 2n=X+20. Если бы бригад было Х+4 и каждая получила по 12 комплектов, то общее количество комплектов (Х+4)12 превысило бы их количество на складе: (Х+4)12>2nX. Решением данного неравенства являются все Х из промежутка (-12;4), а с учётом положительности и целочисленности Х ограничиваемся только тремя натуральными числами: 1;2;3.
Вспоминая далее, что 2n=Х+20, Х=2(n-10), т.е. Х-чётное число. Из оставшихся чётным является только 2, т.е. n=11, а общее число комплектов на складе 2nX=44.
5. Подведение итогов, запись задания.
Задачи для домашнего задания:
А) Сумма в 95 коп. составлена из пятачков и гривенников. Всего монет не более 14. Если все гривенники заменить пятачками, а все пятачки - гривенниками, то общая сумма уменьшится более чем в 1,5 раза. Сколько пятачков и гривенников было первоначально? Ответ: 1 пятачок и 9 гривенников.
Б) Имеется дробь, у которой числитель и знаменатель целые. Если их одновременно увеличить на 2, то дробь окажется больше 1/3, а если из них одновременно вычесть 3, то дробь станет меньше 1/10, но неотрицательной. Найти числитель и знаменатель дроби. Ответ: 4/15.
В) Из двух целых положительных чисел второе больше квадрата первого. Сумма квадрата разности первого числа и 3 и квадрата разности второго и 4 меньше 4. Найти эти числа. Ответ: х=2, у=5.