Графический метод в исследовании решений уравнений, содержащих параметр. 9-й класс

Цели:

• Учить детей исследовать, анализировать, нестандартно мыслить, обосновывать найденное решение.
• Приучать к самостоятельности в исследовательской деятельности.
• Научить переходить от индуктивного к дедуктивному подходу в исследовании.

1. Повторение

Повторим применение формул сокращенного умножения для упрощения выражений.

Упростите выражения:

При каких значениях х каждое из этих выражений не имеет смысла? Почему?

Если бы мы задали этими выражениями функции, что мы нашли бы, отвечая на поставленный выше вопрос?

Как выглядит график функции вида у = кх + в?

Изобразите схематично графики следующих функций: у = 2х – 1, у = – х + 2, у = 1/3 х + 3, у = 3, у = – 4.

2. Мотивация и обмен информацией

Сегодня на уроке мы объединим знания, полученные при изучении этих тем, и расширим их.

Построим графики функций:

а) у =

Выражение следует упростить, но учитывая, что на ноль делить нельзя, запишем х 1.

Значит, функция у = соответствует функции записанной в виде у = х + 1, где х 1.

Т.е. D(у): х 1.

График этой функции будет выглядеть так:

Прямая с выколотой точкой, т. к. при х = 1, функция не определена.

б) у =

Преобразуем выражение – 2;

Получаем у = х + 1, при х –3.

Функция та же, что и в первом случае, но область определения изменилась и график выглядит иначе:

Тема нашего урока: графический метод в исследовании решений уравнений содержащих параметр.

Рассмотрим уравнение + 2 = а

Для его решения построим графики двух функций у = + 2 и у = а в одной системе координат.

Для построения графика функции у =  + 2 упростим выражение + 2, получим у = 2х – 1, при х –1,5.

Функция у = а графически изображается как множество прямых параллельных оси абсцисс, т. к. а – это некоторое незафиксированное число.

Это выглядит так:

3. Исследование.

Очевидно, что уравнение + 2 = а имеет единственное решение при а > – 4 и а < – 4. Не имеет решений при а = – 4, т. к. функция при
х = –1,5 не определена.

Найдите, пожалуйста, самостоятельно при каких значениях параметра а уравнения = а и + 2 = 2а не имеют решений, используя построенные вами ранее графики.

= а

При а = 2.

+ 2 = 2a

При а = – 1.

Обратите внимание, что в этом случае у = 2а, т.е. 2а = – 2, а задание состояло в том, чтобы вы нашли значение параметра а, т.е. а = – 2 : 2,
а = – 1.

4. Связывание информации.

При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение.

– 0,5(х² + 6х) = – а

Упростив левую часть уравнения, получим, – 4х + 2 = – а при х – 2.

Построим в одной системе координат графики функций у = – 4х + 2 при х – 2 и пучок прямых у = – а

Уравнение не имеет решений лишь при – а = 10, т.е. при а = – 10.

Значит, при а –10 уравнение имеет единственное решение.

При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений (х – 2)² = –2а.

Упростив левую часть уравнения, получим, – х – 4 + х – 1 = – 2а, при х 4 – 5 = – 2а.

Построим в одной системе координат график функции у = 5 и пучок прямых у = – 2а при х 4.

Очевидно, что при – 2а = – 5, т.е. при а = 2,5 уравнение имеет бесконечное множество решений. Значит при а – 2,5 уравнение не имеет решений.

5. Классификация информации.

Итак, на уроке мы, исследуя различное расположение прямых, определяли, когда уравнения имеют решения и сколько решений или не имеют решений вообще.

Исследуйте дома, при каких значениях параметра а уравнения имеют решения и сколько?

1) – (х + 1)² = 2а,

2) – (х – 3)² = а.

Попытайтесь, рассмотрев разные значения параметра а, определить при каких значениях а уравнение х – 2 = а имеет решения?