Система Maple — патриарх в семействе систем символьной математики. И поныне это весьма привлекательная система для математика-аналитика и научного работника. Даже в среде MS-DOS Maple имеет неплохой интерфейс и превосходно организованную обширную базу данных помощи. Полнота ядра системы, хранящего более 2700 математических функций (у последней реализации Maple их уже свыше 3000!) и правил их преобразования, вполне заслуживает большого уважения. Весьма привлекательное свойство этой системы — подробная встроенная помощь и множество примеров ко всем встроенным в нее функциям и прикладным пакетам. Эти примеры легко скопировать в окно редактирования системы и тут же решить.
Рис. 1
На рис.1 приведен интерфейс системы Maple. Разобраться в работе с системой не так сложно.
Достойна восхищения и математическая графика системы Maple, в частности возможность изображения пересекающихся трехмерных фигур с функциональной окраской. Новейшие системы Maple для Windows по возможностям графики стоят на одном уровне с системами Mathematica.
К сожалению, фирма Waterloo Maple Inc. (Канада) - разработчик системы Maple — больше блистала математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В силу этого система Maple была доступна в основном узкому кругу профессионалов. Сейчас эта фирма работает совместно с более преуспевающей в коммерции и проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. — создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов Mathcad, ставших международным стандартом для технических вычислений.
Приведенные ниже примеры мы думаем вам помогут получить первоначальные сведения о работе с системой и как нам кажется не нуждаются в комментариях для тех, кто хоть немного знаком с компьютером.
Для начала приведем примеры применения функции Maple, которые используются при исследовании функций.
Примеры уравнений, систем уравнений:
| 1.> solve(x^3-2*x+1,x); | |
 |
|
| > evalf(%); | |
 |
|
| 2.> eq := x^4-5*x^2+6*x=2; | |
 |
|
| > solve(eq,x); | |
 |
|
| 3.> sys:={4*x1+7*x2-x3+3*x4=11, -2*x1+2*x2-6*x3+x4=4,
x1-3-3*x2+4*x3-x4=0.3,3*x1-5*x2-7*x3+5*x4=8}; > |
|
|
|
| > solve(sys,{x1,x2,x3,x4});
|
|
Примеры анализа функций на непрерывность(
-функция непрерывна, 
-имеет разрыв, closed - показывает,
что конечные точки должны проверяться):
| 1.> iscont( 1/x, x=1..2 ); | |
|
|
| 2.> iscont( 1/x, x=-1..1 ); | |
|
|
| 3.> iscont( 1/x, x=0..1 ); | |
|
|
| 4.> iscont( 1/x, x=0..1, 'closed' ); | |
|
Примеры определения точек нарушения непрерывности:
| 1.> discont(1/(x-2),x); | |
 |
|
| 2.> discont(1/((x-1)*(x-2)*(x-3)),x); | |
 |
Примеры нахождение экстремума:
| 1.> extrema(2*x^2+3*x-7,{},x); | |
 |
|
| 2.> extrema( a*x^2+b*x+c,{},x ); | |
 |
Примеры нахождение минимального значения- (minimize - минимальное значение , maximize - максимальное значение):
| 1.> minimize(exp(tan(x)), x=0..10); | |
 |
|
| 2.> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3); | |
 |
Примеры вычисления приделов (infinity -
бесконечность, 
- несуществует):
| 1.> limit(sin(x)/x, x=0); | |
 |
|
| 2.> limit(exp(x), x=infinity); | |
 |
|
| 3.> limit(exp(x), x=-infinity); | |
|
|
| 4.> limit(1/x, x=0, real); | |
|
|
| 5.> Limit(sin(x), x=0); | |
 |
Примеры вычисления производных:
| 1.> diff(sin(x),x); | |
 |
|
| 2.> diff(x*sin(cos(x)),x); | |
 |
|
| 3.> diff(tan(x),x); | |
 |
|
| 4.> Diff(tan(x),x); | |
 |
|
| 5.> Diff(tan(x),x) = diff(tan(x),x); | |
 |
Примеры вычисления неопределенных интегралов:
| 1.> int( sin(x), x ); | |
 |
|
| 2.> int( x/(x^3-1), x ); | |
 |
Пример вычисления определенного интеграла:
| > int( sin(x), x=0..Pi ); | |
 |
|
Примеры построение графиков:
1.> plot(cos(x) + sin(x), x=0..Pi);
2. > plot([sin(t), cos(t), t=-Pi..Pi]);
>
3.> plot3d(sin(x+y), x=-1..1, y=-1..1);
>
Задача 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=x3 - 1,5x2 - 6x + 1 на отрезке [-2; 0].
Решение.
1. Решаем задачу графически
| > y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1; | |
 |
|
| > plot(y(x),x=-2..0); |
2. Решаем задачу аналитически, т.е. исследованием функции.
Находим и исследуем критические точки.
| > y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1; > |
|
|
|
| > diff(y(x),x); | |
 |
|
| > solve(3*x^2-3.0*x-6,x); | |
 |
|
| > x:=-2.; | |
 |
|
| > y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1; | |
 |
|
| > x:=-1.; | |
 |
|
| > y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1; | |
 |
3. Проверяем функциями нахождения max и min.
| > maximize(x^3-1.5*x^2-6*x+1,x=-2..0); | |
 |
|
| > minimize(x^3-1.5*x^2-6*x+1,x=-2..0); | |
 |
Изложенные методы поиска наибольших и наименьших значений функции применимы к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:
задача “переводится” на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую величину выражают как функцию;
средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный результат (на языке функций).
Задача 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис.2) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?
Рис. 2
Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда, длины сторон вырезанных квадратиков равны (a-x)/2, а объем коробки равен (a-x)x2/2. (Рис.3)
Рис. 3
По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0 < х < a, т.е. принадлежит интервалу (0; а). Таким образом, задачу мы свели к следующей задаче: найти наибольшее значение функции V(x)=(a-x)x2/2 на интервале (0;а).
Примем значение а=10.
Решение в системе Maple. Решаем тремя предложенными способами:
- графически;
- исследованием функции;
- нахождением max.
| > a:=10; | |
 |
|
| > v(x):=(a-x)*x^2/2; | |
 |
|
| > plot(v(x),x=0..a); |
| > > diff(v(x),x); |
|
 |
|
| > solve(-x^2/2+(10.0-x)*x,x); | |
 |
|
| > x:=0; | |
 |
|
| > v(x):=(10-x)*x^2/2; | |
 |
|
| > x:=6.66666; | |
 |
|
| > v(x):=(10-x)*x^2/2; | |
 |
|
| > maximize(v(x),x=0..10); | |
 |
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 3. Дано бревно с круглым сечением диаметра d. Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением наибольшей прочности.
Указание. В теории сопротивления материалов устанавливается, что прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению bh2 , где b - основание прямоугольника в сечении балки, в h - его высота (Рис. 4).
Рис. 4
Задача 4. Пусть электрическая лампочка может
передвигаться (например, на блоке) по
вертикальной прямой OB (рис.) На каком расстоянии
от горизонтальной плоскости ОА ее следует
поместить, чтобы в точке А этой плоскости
получить наибольшую освещенность (угол ВАО - 
) ? Рис.
5.
Указание. Освещенность J пропорциональна sinи
обратно пропорцианальна квадрату расстояния
r=АВ, т.е.
J=c sin/r2 , где с зависит от силы
лампочки.
Рис. 5
Литература:
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред А. Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 1993. -320с.
- Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. I: Учебник. -7-е изд. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. -416с.
- Дьконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 672с.