Серия уроков по теме: "Квадратные уравнения". Алгебра 8-й класс

Кудоспаева Надежда Николаевна, учитель математики

Разделы: Математика, Общепедагогические технологии

Класс: 8

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. (22 часа)

1.СЕТКА ЗАНЯТИЙ.

1. Входной контроль. Лекция. Презентация.	ВК 2ч.
2. Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО₁ 1ч. Стр.107-109.
3. Решение задач с адаптацией.	З₁ 0,5ч.
4. Изучение нового материала. Тренинг-минимум	ЧО₂ 1ч стр.111-112
5. Решение задач с адаптацией.	З₂ 1ч
6. Контролирующая самостоятельная работа.	С 0,5ч.
7. Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО₃ 1ч. Стр.113-114
8. Решение задач с адаптацией.	З₃ 1ч
9.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО₄ 1ч стр.115-119
10.Решение задач с адаптацией.	З₄ 1ч
11. Контролирующая самостоятельная работа С₂ 1ч 12. Изучение дополнительного материала.	ЧД 1ч.
13.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО₅ 1ч стр.122-126
14.Решение задач с адаптацией.	З₅ 1ч
15Контролирующая самостоятельная работа.	С₃ 0,5ч.
16.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО₆1ч стр.128-130
17.Решение задач с адаптацией	З₆1ч
18.Контролирующая самостоятельная работа.	С₄ 0,5ч
19.Изучение нового материала. Тренинг-минимум.	ЧО₇ 1ч стр.131-134
20.Решение задач с адаптацией	З₇ 1ч
21. Самостоятельная работа.	С₅ 1ч
22.Обобщающий урок. Нестандартная форма урока	Нф 1ч.
23. Выходной контроль. Контрольная работа.	ВК 1ч.

2. СЕТЕВОЙ ПЛАН.

Самостоятельная работа с взаимопроверкой и взаимооценкой (по вариантам)

1 вариант 2вариант

Вычислить: ; . + -.	Вычислить: ; .; +-
Найдите значение выражения Д=в² – 4ас, если а=2, в=5, с=1.	Найдите значение выражения Д=в² – 4ас, если а=-2, в=4, с=3.
Чему равен , если Д = 625	Чему равен , если Д = 324
Решите уравнения а) х² – 3х = 0; б) х² = 64; в) х²=7	Решите уравнения а) х² – 4х = 0; б) х² = 36; в) х²=11
Уравнение вида ах²+вх+с=0, называется квадратным. Определите, чему равны коэффициенты а, в ,с в уравнении 7х²+10х+12=0	Уравнение вида ах²+вх+с=0, называется квадратным. Определите, чему равны коэффициенты а, в ,с в уравнении 5х²+12х+19=0

4.ЛЕКЦИЯ.

1. ЧО₁. Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения.

Опр.1 Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где а,в,с – заданные числа, а?0, х - неизвестное.

Коэффициенты а, в, с квадратного уравнения обычно называют так: а – первым или старшим коэффициентом, в – вторым коэффициентом, с – свободным членом.

Например, в уравнении 3х² – х + 2=0 старший коэффициент 3, второй коэффициент -1, свободный член 2.

Задание, Определить а, в, с в уравнении 5х²-10х+3=0.

Теорема. Уравнение х²= d, где d>0, имеет два корня: х_1=,х₂ = -.

Доказательство. См. учебник стр. 109.

Например, уравнение х² = имеет два корня: х₁ = = , х₂ = -= -.

Обычно записывают х_1,2 = ± .; уравнение х²=3 имеет два корня х_1,2 = ± уравнение х² = 8 имеет два корня х_1,2 = ± или х_1,2 = ± 2 .

Следствие. Если в уравнении х²= d правая часть равна нулю, то уравнение имеет один корень х=0 или два равных корня х_1,2 =0.

Если d < 0, то уравнение х²= d не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным числом.

Например, уравнение х²= -25 не имеет действительных корней.

Задание. Решить уравнения: а) х²=225; б) х²=0; в) х²= - 64.

2.ЧО₂ Неполные квадратные уравнения.

Опр.2 Квадратное уравнение ах²+вх+с=0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равно нулю. Они имеют следующий вид:

ах²=0, где в=0,с=0.

ах² + с = 0, где в=0, с?0. ах²+вх=о, где с=0, в?0.

Заметим, что в уравнениях а?0.

Например, 1). Решить уравнение 7х²=0.

Решение. Разделим обе части этого уравнения на 7 получим

х²=0, откуда х=0.

Ответ: х=0.

2).Решить уравнение 5х² — 125 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5:

х² — 25 = 0,

х² = 25,

х = ±,

х = ± 5.

Ответ: ± 5.

3). Решить уравнение 3х² + 8 = 0.

Решение. 3х² = — 8,

Х² = — .

Это уравнение действительных корней не имеет, так как х² не может быть отрицательным числом.

Ответ: корней нет.

4). Разобрать в учебнике на стр. 112. Оформить запись в тетрадь.

Задание. Решить уравнения. Учебник. Стр.112 № 417 (2; 4; 6 ), № 418 (5; 6;) №419(1; 4)

3. ЧО₃ Метод выделения полного квадрата.

Для решения некоторых квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата.

ВСПОМНИМ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения (а+в)² = а² + 2ав + в²

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на втрое плюс квадрат второго выражения (а – в)² = а² – 2ав + в².

Рассмотрим это на примерах.

1).Решить квадратное уравнение х² – 4х – 5 = 0.

Решение. Преобразуем это уравнение

х² - 4х = 5,

х² – 2х*2 + 4 = 5 + 4,

( х – 2 )² = 9,

х – 2 = -3 или х – 2 = 3,

х = -3+2 х = 3+2,

х = -1 х = 5.

Ответ: -1;5

Решая это уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное.

2). Решить уравнение 4х² - 8х + 3 = 0.

Решение. Преобразуем это уравнение

4х² – 8х = -3,

(2х)² – 2*2*2х = -3,

(2х)² – 2*2*2х + 4 = -3+4,

(2х – 2)² = 1,

2х – 2 =1 или 2х – 2 = -1

2х = 3 2х = 1

х = 1,5 х = 0,5.

Ответ: 0,5; 1,5.

Решите уравнения: 1) х² + 2х – 15 = 0;

х² + 4х – 12 = 0;

25х²— 10х - 3 = 0.

4 ЧО₄ Решение квадратных уравнений.

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: ах²+ вх + с = 0, где а?0. Разделив обе части уравнения на а, получим: х² + х + =0.

Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился квадрат двучлена: х² + х = - ,

х²+ 2* х + ()² = - + ()²,

( х + )² = .

Если в²- 4ас ? 0, то (х + )² = ()², откуда х = = ±, х_1,2= - ± или х_1,2 = .

Эту формулу называют формулой корней квадратного уравнения общего вида. Выражение « в² – 4ас» называют дискриминантом и обозначают буквой D . Поэтому , если D?0, то уравнение имеет два корня, они находятся по формуле корней квадратного уравнения.

Задание. Запишите формулу корней квадратного уравнения общего вида.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень : х = - .

Если D?0, то квадратное уравнение не имеет корней..

Примеры. 1) Решить уравнение 6х² + х – 2 = 0.

Решение. а = 6; в = 1; с=-2.

D= в² – 4ас.

D= 1² – 4*6*(-2).

D = 1 + 48.

D = 49.

D>0, уравнение имеет два корня: х_1,2 = .

х_1,2 = .

х₁=; х₂ = .

Ответ: -

2) Решить уравнение 4х² – 4х +1 = 0.

Решение. а=4; в=-4; с=1.

D=в²- 4ас.

D = (-4)² – 4*4*1.

D = 16-16.

D = 0.

D=0, уравнение имеет единственный корень х = -, х = -

Ответ: .

Решить уравнение х²- 4х +5 = 0.

Решение. а=1; в=-4; с=5.

D = в²-4ас.

D = (-4)² -4*1*5.

D = 16-20.

D = - 4/

D<0, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Задание. Решите уравнения: 1)2х² + 3х +1 =0;

2)9х² – 6х + 1= 0;

3) 7х²- 6х + 2 = 0.

5. ЧО₅. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Определение. Квадратное уравнение вида х²+px+q=0 называется приведенным.

В этом уравнении старший коэффициент равен единице.

Например, уравнение вида х²- 3х – 4 = 0 является приведенным.

Задание. Какие уравнения являются приведенными: 1) х² + 4х + 7=0;

2)5х²+5х-17=0; 3) х²-5х=0; 4)9х²-3х+25=0; 5)х²+4х-16=0; 6) х²+25=0.

Всякое квадратное уравнение ах²+ вх +с = 0 может быть приведено к приведенному делением обеих частей уравнения на а?0.

Например, уравнение 4х²+4х-3=0 делением на 4 приводится к приведенному х² + х - =0.

Задание. Приведите квадратное уравнение к приведенному: 6х² -3х+12=0.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х²+px+q=0. Его корни находятся по формуле: х_1,2= - .

Её называют формулой корней приведенного квадратного уравнения.

Например, решить уравнение х² – 14х – 15 = 0.

Решение. По формуле х_1,2 = - находим:

х_1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8.

х₁ = 7+8=15, х₂ = 7-8= -1.

Ответ: -1; 15.

Для приведенного квадратного уравнения справедлива теорема Виета: если х₁ и х₂ — корни уравнения х²+ рх + q = 0, то справедливы формулы х₁+х₂= -р, х₁ * х₂ = q, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство смотри на стр. 123.

Например, уравнение х² – 13х + 30 = 0 имеет корни х₁ = 10, х₂ = 3; сумма его корней х₁ + х₂ = 13, а их произведение х₁* х₂ = 30. Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: х₁=х₂= - .

Например, уравнение х² – 6х + 9 = 0 имеет равные корни: х₁ = х₂ = 3, их сумма х₁+ х₂ = 6, произведение х₁х₂ = 9.

Задание. Рассмотреть и записать в тетрадь решение задач 2,3,4 на стр. 124.

При решении некоторых задач применяется теорема, обратная теореме Виета:Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ =q, то х₁ и х₁ — корни уравнения х² + рх + q = 0.

Доказательство смотри на странице 124.

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения.

Смотри задачу 5 на стр. 125.

Рассмотрим пример. Упростите дробь

Решение.

Разложим числитель дроби на множители, используя способ группировки

х² – х – 12 = х² - 4х + 3х – 12 = (х² – 4х) + (3х -12) = х (х – 4) + 3 (х – 4) = = (х – 4) (х + 3 ). Следовательно,

ответ: х – 4.

Многочлен ах²+ вх + с, где а?0, называют квадратным трехчленом. При решении данного примера квадратный трехчлен х² – х – 12 был разложен на множители способом группировки, но можно поступить иначе. Для этого рассмотрим следующую теорему:Если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах² + вх + с = 0, то при всех х справедливо равенство ах² + вх + с = а(х –х₁)(х –х₂).

Доказательство смотри на стр. 125.

Задание. Рассмотри задачу № 7 и оформи её в тетрадь.

Реши: №450(1,2); №451(2,5); №456(5); № 457(6).

6. ЧО₆ Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Определение. Уравнение вида ах⁴ + вх +с = 0, где а ?0, называется биквадратным.

Заменой х² = t это уравнение сводится к квадратному.

Например, решить биквадратное уравнение 9х⁴ + 5х² – 4 = 0.

Решение.

Пусть х² = t , тогда данное уравнение имеет вид: 9t² + 5t – 4 = 0.

а = 9, в = 5, с = -4.

D = в² – 4ас.

D = 5² – 4 * 9 * (-4).

D = 25 +144.

D = 169.

D>0, уравнение имеет два корня: t_1,2 = .

t_1,2 = .

t₁=; t₂ =

Получаем х²= или х²= -1.

х_1,2 = ± корней нет, так как -1 < 0.

Ответ: .

Задание. Решить биквадратное уравнение х⁴ – 10х² + 9 = 0.

Рассмотрим дробно-рациональное уравнение, его решение тоже сводится к квадратному.

Например, решить уравнение

Решение. Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен (х+2)(х-3). Если х+2?0 и х-3?0, то, умножая обе части на (х+2)(х-3), получаем:

решаем полученное квадратное уравнение.

а=3, в=-2, с=-1.

D =в²- 4ас.

D = (-2)²-4*3*(-1).

D =4 + 12.

D = 16.

D > 0, уравнение имеет два корня: х_1,2 =

х_1,2= х₁ = х₂ =

Проверка. (обязательна)

Если х₁ = 1, то х+2 ?0 и х+3 ?0 верно,

если х₂= -, то х+2 ? 0 и х+3? 0 верно.

Ответ: 2.

Задание. Рассмотреть задачу №4 в учебнике на стр.129 и записать её решение в тетрадь, прочитать и записать вывод к уравнению на стр. 130.

Задачу № 5 разбираем на доске и записываем к себе в тетрадь.

Задание. По задачи №5 составить вопросы и ответить на них по мере возможного.

Решить № 470(3) или №473(1) или № 553(2).

7. ЧО₇. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Для решения задач с помощью квадратных уравнений необходимо вспомнить: теорему Пифагора «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», а²+в²=с²; закон свободного падения; формулы квадратного уравнения;формула пути «Путь равен произведению скорости на время», S=V t; задачи на совместную работу; площадь прямоугольника « Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину»; S = ab; периметр прямоугольника «Периметр прямоугольника равен сумме длины и ширины, умноженной на 2» P = 2(a+b)/

Рассмотрим несколько задач,решаемых с помощью квадратных уравнений.

Задача №1. Скорость велосипедиста на первой половине пути была на 3 км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь путь в 90 км он преодолел за 5,5 часа? Решение.

Пусть х км/ч скорость велосипедиста на второй половине пути, тогда первую половину пути велосипедист проехал со скоростью (х+3)км/ч. Так как весь путь равен 90 км, то его половина равна 45 км, поэтому ч, время, затраченное велосипедистом на второй половине пути, а ч, время, затраченное велосипедистом на первой половине пути. По условию задачи известно, что весь путь велосипедист преодолел за 5,5= часа, составим и решим уравнение

,

2х(х+3)?0,

,

90(х+3) + 90х = 11х(х+3),

90х + 270 + 90х =11х² + 33х,

11х²+ 33х - 90х – 270 - 90х=0,

11х² – 147х – 270 = 0,

а=11, в= -147, с= -270.

D = в² – 4ас.

D = (-147)²-4*11*(-270).

D =21609+11880.

D = 33489.

D>0, уравнение имеет два корня: х_1,2 =

х_1,2 = ; х₁= х₂ =

х₂=условию задачи не удовлетворяет, так как скорость отрицательной быть не может.

Значит, скорость велосипедиста на втором участке пути равна 15 км/ч, а на первом (15+3)=18 км/ч.

Проверка.

Если скорость на втором участке пути равна 15 км/ч, а на первом 18 км/ч, то время на первом участке пути равно ч, а на втором участке пути оно равноч. На весь путь потрачено (2,5+3)= 5,5 ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: 15 км/ч.

Задания: 1)Прочитать §31, рассмотреть задачи № 1,2, 3. Подготовить вопросы по данной теме. Оформить эти задачи к себе в тетрадь.

4. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ИЗУЧЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Название

Цель изучения

Содержание материала

Как изучать

ОУ

ПУ

ТУ

ЧО₁

-прочитать
-изучить понятия: квадратное уравнение; коэффициент; свободный член; корень уравнения; действительные корни; не имеет корней; имеет корни.

- научиться определять квадратное уравнение; эго коэффициенты а и в, а также свободный член с;записывать квадратное уравнение через известные а,в,с; решать квадратные уравнения путем разложения его левой части на множители;

-рассмотреть решение квадратного уравнения, в котором числа в и с равны нулю;

-записать алгоритм решения квадратного уравнения вида х²=d.

Алгебра
8 класс

авт.

Ш.А. Алимов

§25 стр. 107 – 109.

+ лекция + презентация.

+ доп. Источники.

1. Прочитать

2. Ответить на вопросы: 1.Что называется квадратным уравнением?

2.Что такое а,в,с?

3.Что такое первый коэффициент?

4.Что такое второй коэффициент?

5.Что такое свободный член?

6.Сколько корней имеет квадратное уравнение вида х²=d, если d>0? d=0? d<0?

Приведите примеры.

Ответьте на вопросы письменно.

Текст
2.Ответить на вопросы ОУ.

3.Выучить ответы на вопросы.

4.Записать в тетрадь решение задачи №2.

5.Выписать все уравнения с их решениями, которые встречаются в данной теме.

Учебника
2.Выполнить все действия, указанные в ОУ, ПУ.

3. Выучить доказательство теоремы на стр. 109.

4. Подготовить вопросы для составления кроссворда

Взаимоконтроль и взаимооценка

Подтверждение оценки

Резюме.

Прилoжение

21.02.2007