Тема урока: "Обратные тригонометрические функции"

Учебный элемент время

Учебный материал с указанием задания

Рекомендации по выполнению задания

УЭ-0

2–3 мин.

1) Проанализировать знания, полученные в процессе изучения темы “Тригонометрические обратные функции”.
2) Углубить знания по этой теме.
3) Свободно владеть навыками тождественных преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

УЭ-1

15 мин.

Функция f (с областью определения X и областью значений Y) называется обратимой, если она принимает каждое свое значение только при одном значении аргумента. Для такой функции уравнение f(x) = y при любом можно однозначно разрешить относительно x, т.е. каждому y соответствует единственное . Это соответствие определяет функцию g, обратную функции f.

Отметим, что

а) если g – функция, обратная к функции f, то и функция f – обратная к функции g; области определения и области значений взаимно обратных функций f и g связаны условиями

D(g) = E(f),
E(g) = D(f),

т.е. область определения функции g совпадает с областью значений функции f и наоборот;

б) графики функций y = f(x) и y = g(x) симметричны относительно прямой y = x;

в) функция, обратная нечетной функции, тоже нечетна;

г) любая монотонная функция обратима, причем функция, обратная к возрастающей (убывающей), – возрастающая (убывающая).

В силу свойств взаимно обратных функций, перечисленных выше,

D(arcsin) = [–1; 1],
E(arcsin) = ,

и для любых , справедливо утверждение

,

или

Из свойств взаимно обратных функций следует, что

D(arccos) = [–1, 1],

E(arcos) = [0, ?],

для любых справедливо утверждение

,

или

Из свойств взаимно обратных функций следует, что

D(arctg) = R,

E(arctg) = ,

и для любых , справедливо утверждение

tg arctg ,

или

arctg (tg ,
tg (arctg
y = arcctg x

Из свойств взаимно обратных функций следует, что

D(arcctg) = R,
E(arcctg) = ,

и для любых , справедливо утверждение

ctg arcctg ,

или

arcctg (ctg ,
ctg (arcctg

Арксинус и арккосинус связаны тождеством (доказать).

Выводы

УЭ-2

5 мин.

1) Имеет ли смысл выражение , , arctg.

2) Найти множество значений выражений arcsin a, arcos a, arctg a, arcctg a.

3) Найти область определения arcos 3x, arctg 4x, arcsin (x–2).

УЭ-3

25 мин.

1) Вычислить

2) Сравнить и .

3) Найти ОДЗ .

4) Решить неравенство .

5) Построить график функции .

При решении воспользоваться следующим приемом:
во-первых, вычисляется значение какой-нибудь функции от выражений
и во-вторых устанавливается, что они расположены на таком промежутке, где выбранная функция монотонна.

УЭ-4

30 мин.

Вычислить

arctg(tg(–6)).

Решить задачу тремя способами:

1) графически;
2) на единичной окружности;
3) сравнением с .

УЭ-5

40 мин.

1) Вычислить:

arccos(sin6),
arcsin(cos3),
arccos(sin7).

2) При каких значениях x образуют арифметическую прогрессию?

3) В прямоугольнике ABCD точки M и N лежат на стороне AD и делят ее на 3 равные части. Найти , если AB = 6 см, AD = 3 см.

4) Упростить .

Решаем на единичной окружности.

Использовать формулу понижения степени.

УЭ-6

40 мин.

1) Доказать, что

а)

б)

в)

2) Вычислить

а)

б)

в)

3) Вычислить

а) arcsin(sin 3); arcos(cos 6); arccos(sin 5);

б) arcsin(sin 4); arcos(cos 5); arcsin(cos 4);

в) arcsin(sin 7); arcos(cos 4); arcos(sin 4).

4) Построить график y = arcos(cos x).

Решить двумя способами.

УЭ-7

1) Доказать тождества

arctg(–x) = – arctg x;

arcctg(–x) = – arcctg x;

arctg x + arcctg x = ;

tg(arcsin a) =

sin(arctg a) =

cos(arctg a) =

;

2arctg.

2) вычислить

arctg arctg arctg arctg;

;

arctgarctg 2;

;

arcsin(sin 10);

arccos(cos 3).

Задачи решаются с помощью основных соотношений между тригонометрическими функциями.

Решить всеми возможными способами.