Методическая разработка уроков по теории вероятностей. Тема урока: "Случайные величины и их числовые характеристики"

Задачи уроков:

• образовательная – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
• развивающая – формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
• воспитательная – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, общаться на деловой основе, применять вводимые понятия в практической жизни, видеть их роль в разных областях деятельности человека.

Урок 1.  Случайные величины

Цели урока:

• закрепление знаний и навыков учащихся по изученной теме «Случайные события»;
• ввести понятие случайной величины, рассмотреть виды случайных величин, закон распределения случайной величины.

Используемые средства обучения: ПК, проектор.

Ожидаемые результаты.

Учащийся должен:

• уметь приводить примеры случайных величин;
• выделять из множества различных случайных величин дискретные, непрерывные;
• знать определение закона случайных величин;
• уметь составлять таблицы распределения дискретных случайных величин с небольшим числом значений.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

 Сообщить тему и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом – теоретический опрос по вопросам:

– Основное понятие теории вероятностей.
– Что изучает теория вероятностей? 
– Назовите основные объекты изучения теории вероятностей.
– Виды случайных событий.
– Что называется вероятностью случайного события?
– Какие определения вероятности вы знаете? В каких случаях они применяются?
– Дать классическое определение вероятности и привести примеры.
– В каких случаях применяется классическое определение вероятности?
– Статистическое определение вероятности, привести пример. Недостатки этого определения.
– Можно ли статистически определить вероятность, того что мобильный телефон после падения на пол будет работать?
– Геометрическое определение вероятности, пример (задача о встрече).
– Аксиоматическое определение вероятности.
– Дать определение : несовместных событий, независимых событий, суммы событий.
– Вероятность суммы несовместных событий.
– Определение произведения независимых событий.
– Вероятность суммы совместных событий.
– Вероятность появления хотя бы одного из событий, образующих полную группу.
– Формула полной вероятности.
– Теорема Бейеса.

III.Самостоятельная работа

Задача 1. В ящике лежат 6 белых и 5 красных шаров. Из ящика наугад выбираются 2 шарика. Какова вероятность того, что:

• Вариант 1 – шарики будут оба белыми?
• Вариант 2 –  шарики будут оба красными?

Задача 2. Двое друзей договорились о встрече в условленном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут. Какова вероятность того, что:

• Вариант 1 – друзья встретятся?
• Вариант 2 – друзья не встретятся?

Задача 3. Стрелок стреляет по мишени 4 раза подряд. Известно, что

• Вариант 1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что мишень будетп оражена хотя бы один раз.
• Вариант 2. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,1. Найдите вероятность того, что стрелок хотя бы один раз промахнется.. 

IV. Изучение нового материала

Если случайному событию (случайному опыту) можно поставить в соответствие определенную величину, то говорят, что задана случайная величина.
Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Y, Z …, а принимаемые ими значения строчными буквами x, y, z.

Пример.

Случайной величиной является число выпавших очков игральной кости, рост наудачу выбранного ученика, оценка за контрольную работу.
Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной.
Множество значений непрерывной  случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток – конечный или бесконечный.

Вопрос: Дискретной или непрерывной является случайная величина:

а) число учеников, отсутствующих в классе,   (дискретная);
б) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле,   (непрерывная);
в) среднее значение оценки за контрольную работу в классе?  (дискретная).

Закон распределения случайной величины

Для задания случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать, с какими вероятностями она принимает эти значения.
Законом распределения случайной величины называют соотношение между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения можно задать таблично:

Х   х₁   х₂   . . .   х_n    –  значения случайной величины,  
Р    р₁  р₂   . . .   р_n    –  их вероятности

Х	2	4	8	10
Р	0,4	0,2	0,1	0,3

Для наглядности закон распределения можно изобразить графически или в виде диаграммы.

Непрерывная случайная величина задается  аналитически  

Пример. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта нам известна. По горизонтали указано число очков, выпавшее на первой кости, по вертикали – на второй.

Рис. 1(ПК, проектор)

Сумма выпавших очков – случайная величина. Возможные значения этой суммы – натуральные числа от 2 до 12. С помощью таблицы элементарных событий можно вычислить распределение вероятностей между возможными значениями нашей случайной величины.
Вычислим, например, вероятность того, что сумма очков равна 7. Выделены желтым цветом элементарные события, благоприятствующие этому событию. Их 6. Так как в этом опыте 36 равновозможных элементарных событий, вероятность каждого из них равна Поэтому вероятность события «сумма очков равна 7» оказывается равна
Таким же способом можно вычислить остальные вероятности и заполнить таблицу.

Рис 2 (ПК, проектор)

Это распределение вероятностей можно представить и в виде диаграммы

 
Рис. 3 (ПК, проектор)

Высота каждого столбца диаграммы равна вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.
Дискретная случайная величина связана с проведением эксперимента. Сумма вероятностей значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента, поэтому основное свойство распределения  заключается в том, что сумма всех вероятностей равна 1.

V. Закрепление изученного

Задача. Дано распределение некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найти ее.

Х	– 4	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4
Р	0,05	0,1	0,15	0,18	?	0,18	0,15	0,1	0,05

(р = 0.04) Рис. 4 (ПК, проектор)

Найти вероятность Р(0<x<3) (0,18 + 0,15 = 0,33)

VI. Подведение итогов

– Какие виды случайных величин Вы знаете?
– Что называется законом распределения случайной величины?

Домашнее задание

Выучить все определения.

• Задача 1. Случайная величина принимает все четные значения от –2 до 6 с равными вероятностями. Постройте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.
• Задача 2. Пять человек выстраиваются в очередь случайным образом. Среди этих пятерых в очереди стоит Иван Иванович. Постройте распределение случайной величины «число людей в очереди, стоящих перед Иваном Ивановичем».
• Задача 3. В таблице дано распределение некоторой случайной величины Х. Найдите пропущенную вероятность.

Значение	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,16	0,2	0,03	0,05	0,12	0,07	?	0,24

Урок 2. Числовые характеристики случайных величин

Цели урока:

• познакомить учащихся с модой и медианой, методами вычисления медианы;
• ввести понятие закона больших чисел.

Используемые средства обучения: ПК, проектор.

Ожидаемые результаты.

Учащиеся должны:

– уметь объяснить, что такое медиана и уметь ее вычислять;
– понимать, что такое наибольшее и наименьшее значения набора чисел, размах и уметь их вычислять;
– знать, что такое мода.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Закрепление знаний. Умений и навыков учащихся по нахождения математического ожидания и дисперсии случайных величин

III. Самостоятельная работа

Задача 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Вариант 1. X – 4 6 10 P 0,2 0,3 0,5

Вариант 2. X 0,21 0,54 0,61 P 0,1 0,5 0,4

Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y:

Вариант 1. Z = X +2Y, M(X) = 5. M(Y) = 3.

Вариант 2. Z = 3X + 4Y, M(X) = 2, M(Y) = 6.

III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков

Пример. Пусть в течение суток отмечали через каждый час температуру воздуха в городе. Для полученных данных полезно не только вычислить среднесуточную температуру, но и колебание температуры в течение этих суток – размах.

Размахом случайных величин называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Иногда может заинтересовать наиболее часто встречающееся число – мода.

Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем. Например, для случайной величины, имеющей значения 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 две моды – это значения 47 и 52.

А для значений 69, 68, 66, 80. 67, 65, 71. 74, 63, 73, 72 – моды нет.

Моду обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель, например наиболее распространенную цену на товар данного вида. При расфасовке товара необходимо выявить, какому виду товара отдают предпочтение покупатели, в какой расфасовке.

Рассмотрим еще пример. Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных: 36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е. такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего. Получим: 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.

Вычислим среднее арифметическое:

Размах ряда равен 39 –35 = 4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.
Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.
Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.
Другим показателем случайной величины является медиана – число, которое разделяет значение случайной величины на две части, одинаковые по численности.

Например, для значений случайной величины Х

Х    1     4      7      9      11, число 7 – медиана, а для
Y     1     1      2     5   102  медианой является число 2.

Если в наборе чисел есть резко выделяющиеся значения, то медиана лучше, чем среднее арифметическое, показывает, как этот набор расположен на числовой прямой. Рассмотрим пример.

Пример. В России в 2002 г. было 13 городов с числом жителей более 1 млн. человек. Данные о населении этих городов в тысячах человек за разные годы приведены в таблице.

Таблица. Города России с числом жителей более 1 млн. человек.

Рис. 6.

Найдем среднее значение численности жителей этих городов в 2002 г. Для этого нужно сложить числа последнего столбца и сумму разделить на 13.

В таблице нет города, население которого было бы близко к этой величине. Почти во всех городах население немного превышает 1 млн. человек. Исключение составляют Москва и Санкт-Петербург. Из-за этих двух городов среднее арифметическое не дает представления о населении «среднего», «типичного» крупного города.

Лучшее представление о населении «среднего», «типичного» города-миллионера дает медиана. Упорядочим числа последнего столбца и найдем медиану: 1000; 1013; 1042; 1070;  1078;  1105;  1134;  1158;   1293;   1311;  1426; 4669; 10358.

Медиана равна 1134 тыс. человек. Это население г. Омска. В шести городах из тринадцати: Москве, Санк-Петербурге, Новосибирске, Нижнем Новгороде, Екатеринбурге и Самаре число жителей превышает население Омска, а в остальных шести городах оно меньше.

Метод вычисления медианы.

Чтобы найти медиану набора, числа следует записать по возрастанию. Затем нужно выбрать одно число посередине, либо два числа и найти их полусумму.
Если в полученном наборе четное количество чисел, то медиана – полусумма двух чисел, расположенных посередине этого набора на числовой оси.

Рассмотрим пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

2,  2,  2,  2,  2,    3,  3, . . . , 3,    4,  4, . . . ,  4,   100.
                12 раз                          16 раз

Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана  равна среднему  арифметическому 17-го и 18-го членов, т.е. (3 + 4) : 2 = 3,5.

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, то есть в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций. Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как все сотрудники, кроме одного, приобрели не более 4 акций.

Домашнее задание

Выучить все определения.

Задача 1. Дан набор равновероятных чисел 3; 6; 4; –2; 5; 8. Найдите математическое ожидание и медиану этого набора.

Задача 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины

X     10       20        30       40      50       60 
P     0,24    0,36     0,20    0,15   0,03    0,02.

Найти моду.

Литература.

1. В.Е.Гмурман. «Теория вероятностей и математическая статистика».
2. В.Е.Гмурман. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике».
3. Ю.Н.Тюрин и другие. «Теория вероятностей и статистики». МЦНМО АО «Московские учебники», М., 2004.
4. Ю.Н.Тюрин и другие. Методическое пособие для учителей. МЦНМО МИОО, м., 2005.