Решение занимательных логических задач с помощью таблиц

Решение многих логических задач связано с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов, между которыми требуется установить соответствие. При решении таких задач удобно использовать таблицы (Приложение 1).

Прежде чем приступить к решению задач, полезно обсудить с учащимися понятие взаимно - однозначного соответствия между множествами (Приложение 1).

Для закрепления полученных знаний поиграйте с детьми в игру “Верю – не верю”. Каждый учащийся получает по две карточки, например, красную (верю) и черную (не верю). Демонстрируем презентацию (см. Приложение 1), учащиеся поднимают соответствующие карточки. Ответы обсуждаем и проверяем, нажимая на кнопки “ДА” и “НЕТ”.

Задача 1. Три друга — Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, другой — на трамвае, третий — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки троллейбуса. Когда мимо них проходил автобус, третий друг крикнул из окна: “Боря, ты забыл в школе тетрадку!”. Кто на чем ездит домой? (Рисунок 1)

<Рисунок 1>

Решение.

Видим, что в задаче речь идет о двух множествах: множестве имен и множестве видов транспорта, на котором ребята едут домой (по щелчку на рисунке 1 появляются названия множеств). Обращаем внимание на то, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие, то есть каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два различных элемента второго множества. Сообщаем о том, что при решении таких задач удобно воспользоваться таблицей, записав названия элементов одного множества в строчку, а другого – в столбик (на рисунке 1 по щелчку появляется таблица).

Договоримся отмечать в таблице положительный результат, полученный в ходе логических рассуждений, знаком “+”, а отрицательный – знаком “-” . Какая картина будет наблюдаться при заполнении таблицы в данном случае? В каждом столбце — только один знак “+”, в каждой строке — только один знак “+”. Поэтому, если в какой-то из клеток появляется знак “ + ”, то все остальные клетки в данной строке и в данном столбце заполняем знаками “-”.

Выделяем ключевые условия (появляются на рисунке 1 по щелчку).

1. Алеша провожает друга до остановки троллейбуса.
2. Крик из автобуса: “Боря, ты забыл тетрадку”.

Анализируя каждое из условий, заполняем таблицу. Из условия (1) делаем вывод о том, что Алеша не ездит на троллейбусе — ставим знак “-” в ячейку <троллейбус — Алеша>. Из условия (2) делаем вывод о том, что в автобусе едет не Боря — ставим знак “-” в ячейку <автобус — Боря> (рисунок 1):

Из (1) и (2) — в автобусе едет не Алеша (он провожает друга до остановки троллейбуса). Ставим знак “-” в ячейку <автобус — Алеша> (Рисунок 1).

В столбике <трамвай> может быть только один знак “ + ” (соответствие однозначное), поэтому ячейки <трамвай — Боря> и <трамвай — Витя> заполняем знаками “-”(Рисунок 1).

В столбике <автобус> два знака “-” уже есть, значит, последнюю ячейку заполняем знаком “ + ”. В строке <Боря> — аналогично. Теперь таблица принимает вид:

В столбце <автобус> есть знак “+”, поэтому ячейку <автобус — Витя> заполняем знаком “-”.

<Рисунок 2>

Таблица на рисунке 2 заполняется постепенно по ходу обсуждения решения задачи. На рисунке 3 демонстрирует результат и выводы.

<Рисунок 3>

Ответ: Алеша поедет на трамвае, Боря — на автобусе, Витя — на троллейбусе.

Задача 2

Каникулы в школе птиц и зверей начались большим карнавалом. Медведь, волк, лиса и заяц явились в маскарадных костюмах волка, медведя, лисы и зайца. На балу зверь в маскарадном костюме зайца выиграл в лотерее банку меда и остался этим очень недоволен. Известно также, что медведь не любит лису и никогда не берет в лапы картинок, где она нарисована. Зверь в маскарадном костюме лисы выиграл в лотерее пучок моркови, но это тоже не доставило ему никакой радости. Не могли бы вы сказать, какой маскарадный костюм смастерил себе каждый из зверей?

<Рисунок 4>

Решение. В ходе обсуждения (по щелчку мыши) на рисунке 4 появляются элементы множеств, незаполненная таблица (заполняется в ходе обсуждения), ключевые условия.

<Рисунок 5>

По смыслу задачи все звери переоделись, поэтому сразу заполняем клетки, расположенные по диагонали знаками “-”.

Выделяем ключевые условия.

1. Зверь в костюме зайца выиграл банку меда и был этим недоволен.
2. Медведь не берет в руки картинки с изображением лисы.
3. Зверь в костюме лисы выиграл пучок моркови и был этим недоволен.

Из условия (1) следует, что в костюме зайца был не медведь (медведи любят мед). Ставим знак “-” в ячейку <костюм зайца — медведь>. Из условия (2) следует, что медведь не надел бы костюма лисы. Ставим знак “-” в ячейку <костюм лисы — медведь>.

В первой строке все клетки, кроме одной, заполнены знаком “-”. Соответствие взаимно однозначное. Поэтому последнюю клетку заполняем знаком “+”. Все клетки, которые находятся ниже знака “ + ”, заполняем знаками “-”.

Из условия (3) — зверь в костюме лисы не любит морковь, значит, это не заяц. Ставим знак “-” в ячейку <костюм лисы — заяц>.

В столбце <костюм лисы> все клетки заполнены знаками “-”, значит, последнюю клетку заполняем знаком “+”, а пустые клетки в строке <Волк> знаками “-”.

В строке <3аяц> все клетки кроме одной заполнены знаками “-”, значит, последнюю заполняем знаком “ + ”. В столбце <костюм медведя> может быть только один знак “ + ”, поэтому оставшуюся пустую ячейку здесь заполняем знаком “-”.

В строке <Лиса> все клетки кроме одной заполнены знаками “-”. В последней ставим знак “ + ”.

Все знаки расставлены. Можем сделать вывод: медведь — в костюме волка, лиса — в костюме зайца, волк — в костюме лисы, заяц — в костюме медведя.

<Рисунок 6>

Задача 1

Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: “Любопытно, что один из нас блондин, другой — брюнет, третий — рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии”. Какой цвет волос у каждого из друзей?

<Рисунок 7>

Пояснение для учителя. Напоминаем детям этапы решения задач:

- выделяем элементы множеств;

- определяем количество строк и столбцов и заполняем их заголовки;

- выделяем ключевые условия.

Соответствие взаимно однозначное

Во время обсуждения (по щелчку мыши) заполняем Рисунок 22.

<Рисунок 8>

Решение. Выделим ключевые условия:

1) брюнет сказал Белокурову... (значит, Белокуров не брюнет);

2) цвет волос не соответствует фамилии.
В соответствии с ключевыми условиями заполняем таблицу.

Видим, что в строке “Белокуров” не заполнена только одна клетка. Заполняем ее знаком “+”., тогда в ячейке “Чернов – рыжий” ставим знак “-”.

Становится очевидным, что в ячейку “Чернов – русый” необходимо поставить знак “+”, а в ячейку “Рыжов – русый” знак “-”. В оставшуюся пустую клетку “Рыжов – черный” ставим знак “+”.

<Рисунок 9>

Ответ: у Белокурова рыжие волосы, у Чернова – русые, у Рыжова – черные.

Задача 2

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:

(1) вода и молоко не в бутылке;

(2) сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

(3) в банке не лимонад и не вода;

(4) стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Решение. Из условия (1) ясно, что вода и молоко не в бутылке, значит, ставим знак “-” в соответствующие ячейки. Из условия (2) — сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, значит, в кувшине не лимонад и не квас. Из условия (3) — лимонад и вода не в банке. Из условия (4) — в стакане и банке не молоко. В результате таблица принимает вид:

Замечаем, что в столбце <молоко> все клетки кроме одной заполнены знаками “-”, поэтому последнюю клетку заполняем знаком “ + ” (помним, что в каждой строке и в каждом столбце должен быть только один знак “+”, так как соответствие однозначное). Аналогично, в строке <банка>.

Теперь легко заполнить пустую клетку в строке <бутылка> и клетку под ней. Осталась одна пустая клетка в строке <стакан>. Очевидно, что в нее нужно поставить знак “ + ”.

Ответ: лимонад — в бутылке, вода — в стакане, молоко — в кувшине, квас — в банке.