Урок алгебры в 10-м классе по теме "Условия существования решений тригонометрических уравнений"

Цели:

• Обобщить и систематизировать материал по теме “Решение тригонометрических уравнений”
• Провести диагностику усвоения системы знаний и умений ее применения для выполнения заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
• Содействовать рациональной организации труда.
• Развивать познавательные интересы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.
• Выработать критерии оценки своей работы.
• Повышать интерес учащихся к нестандартным задачам.
• Формировать у учащихся положительный мотив учения.

Содержание темы. Исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.

Тип урока. Интегрированный урок обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.

Оборудование.

• ноутбук,
• проектор,
• экран.

Структура урока:

• мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
• актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.
• Диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
• Подведение итогов урока.
• Творческое домашнее задание
• Рефлексия.

Ход урока

Мотивационная беседа. Решая тригонометрические уравнения, мы использовали различные способы. Их немало, повторим некоторые. На сегодняшнем уроке нам предстоит исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.

Актуализация опорных знаний.

Устно среди уравнений (слайд)

1. 2sin²x - 5cos²x = 3sinxcosx
2. sin²x + cos²2x = 3/2.
3. cosx·sin7x = cos3x·sin5x,
4. sin²x - 2sinx – 3 = 0,
5. 2 cosx – sinx = 0,
6. sinx + sin3x = sin5x – sinx,
7. sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0,
8. 3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0,
9. sin²x - √3/3 sin2x = cos²x,
10. sinx + cosx = 1,

выбрать те, которые решаются:

а) заменой переменной;

б) приведением к квадратному;

в) делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные;

г) понижением степени;

д) с помощью формул суммы или разности;

е) методом вспомогательного аргумента.

а) Приведением к квадратному и заменой переменной решаются уравнения 4, 8.

sin²x - 2sinx – 3 = 0

пусть sinx = t, тогда t²+ 2 t – 3 = 0, где t = -3; 1.

Учитывая, что |sinх|≤1, а -3<-1, имеем sinx = 1,

Х =π/2+2 π n, n Є Z.

Ответ: π /2+2 πn, n Є Z.

3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0

sin²x = 1 - cos²x, значит, 3 - 3cos²x + 2cos²x +2cosx = 0,

cos²x - 2cosx – 3 = 0,

пусть cosx = t, тогда t²- 2 t – 3 = 0, где t = 3; -1

3>1, значит, cosx = -1,

Х = π + 2 π n, n Є Z.

Ответ: π + 2 π n, n Є Z.

б) Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9.

2sin²x - 5cos²x = 3sinxcosx

Разделив каждое слагаемое на cos²x,получим.

2tg²х - 3tgх - 5 = 0,

Пусть tgх = p, тогда 2p² - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; -1,

tgх =2,5, х = arctg2,5 + πn, n Є Z;

tgх = -1, х = π /4 + π n, n Є Z.

Ответ: arctg2,5 + π n, n Є Z; π /4 + π n, n Є Z.

√2 cosx – sinx = 0 |: cosx, cosx≠0,

tgх = √2, х = arctg√2 + πn, n Є Z

ответ: arctg√2 + π n, n Є Z

sin²x - √3/ 3sin2x = cos²x |: cos²x, cosx≠0

tg²х - √3/3 tg x- 1 = 0,

tgх = √3/6(1 ± √13), х = arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z;

ответ: arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z

в) Понижение степени используют при решении уравнения 2.

sin²x + cos²2x = 3/2.

sin²x + 1/2(1 +cosx) =3/2,

2 sin²x + 1 +cosx -3 = 0,

2 - 2 cos²x + 1 +cosx -3 = 0,

2 cos²x - cosx = 0,

cosx(2 cosx – 1) = 0,

cosx = 0  или cosx = 1/2

Х = π /2 + π n, n Є Z или Х = ± π /3 + 2 π n, n Є Z.

Ответ: ± π /3 + 2 π n, n Є Z; π /2 + π n, n Є Z.

г) С помощью формул суммы или разности решаются уравнения 6, 7.

sinx + sin3x = sin5x – sinx

2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0,

sin2x (cosx - cos3x) = 0,

sin²2x sinx = 0,

sin2x = 0 или sinx = 0,

Х = π /2 n, n Є Z или Х = π n, n Є Z.

Объединив множества, получим, Х = π /2 n, n Є Z

Ответ: π /2 n, n Є Z

д) Методом вспомогательного аргумента, который состоит в преобразовании выражения asinx ± bcosx к виду √(a² + b²) sin(x±φ), где φ = b/√(a² + b²) решается уравнение 10.

sinx + cosx = 1.

Учитывая, что a= 1, b = 1, получим уравнение

√2 sin(x+φ) = 1, где φ = arcsin√2/2,

sin(x+ φ /4) = √2/2,

х = - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.

Ответ: - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.

Диагностика.

После повторения основ решения тригонометрических уравнений проверим ваше умение исследовать и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их. Вам предлагаются следующие задания:

1. найти а, при которых данные уравнения имеют решения:

Первое уравнение решаем вместе, рассуждая, дополняя друг друга.

• 2sinx -3 cosx = а.

Поделим обе части уравнения на √( 2²+ 3²) = √13, получим

2/√13 sinx – 3/√13cosx = а/√13. Так как (2/√13)²+ (3/√13)² = 1, то, обозначая 2/√13 = cosφ, 3/√13 = sinφ, приведем уравнение к виду

sin(х – φ) = а/√13, где φ = arctg3/2. Из условия |sin(х – φ)|≤1 получаем

|а|≤√13.

Ответ: а Є [-√13;√13].

Над решением второго уравнения работаем группами, потом обменяемся идеями. Правильное решение спроецируем на экран.

• а cosx – sinx = 3.

Поделим обе части уравнения на √a²+ 1, получим

а cosx/√(a²+ 1) - sinx /√(a²+ 1) = 3/√(a²+ 1),где sinφ =а /√(a²+ 1)

cosφ =а /√(a²+ 1),отсюда, sin (х – φ) = 3/√(a²+ 1).

Из условия 3/√(a²+ 1)≤1 имеем a²+ 1≥9, значит,|а|≥2√2.

Ответ: а Є(-∞,-2√2]∪[ 2√2,+∞).

Вспомним решения уравнений 2 и 8 из устной работы, используем навыки при работе с третьим уравнением.

• sin²x - 5 cosx + а = 0.

Используя формулу sin²x + cos²x = 1, получим,

1 - cos²x - 5 cosx + а = 0.

После замены cosx = t уравнение примет вид f (t) = 0, где

До этого момента в работу детей вмешиваться не надо. Остальное необходимо разбирать совместно, привлекая рисунки параболы.

f (t) = t²+ 5 t – (а + 1 )

абсцисса вершины параболы у = t²+ 5 t – (а + 1 )

t = -5/2 не принадлежит [-1;1], следовательно, уравнение

f (t) = 0 на отрезке [-1;1] может иметь не более одного корня. Искомые значения а находим из неравенства f (-1) f (1) ≤ 0,

значит, (-5- а) (5 – а) ≤ 0.

Ответ: а Є [-5;5].

2. Определить при каких значениях параметра а уравнения не имеют решений.

Поддержать групповую работу детей. Лучшую отметить, прокомментировать, если потребуется поправить.

• х + 2х sinφ - cos² φ + 2 sinφ= 0, φ Є (-π /2; π /2)

Уравнение не имеет решений, если 1/4D < 0, т. е. при условии

sin²φ + cos² φ + 2 sinφ < 0, sinφ > 1/2, откуда, учитывая условие

φ Є (-π /2; π /2), получаем φ Є (π /6; π /2).

Ответ: φ Є (π /6; π /2).

Решение этого уравнения прокомментировать, используя уже готовый слайд

• 2 sinх = (а + 1):(а – 3), а ≠ 3.

Уравнение не имеет корней при условии |(а + 1):(а – 3)|>2.

Так как | а + 1| >2 |а – 3|, то (а + 1 + 2а – 6)(а + 1 – 2а + 6)>0,

А, отсюда, ( 3а – 5)(а – 7) < 0, поэтому, а Є ( 5/3;7).

С учетом а ≠ 3, получим а Є ( 5/3;3)∪(3;7).

Ответ: аЄ( 5/3;3)∪(3;7).

Подведение итогов урока

Мы замечательно поработали. Те навыки, которые вы получили на уроке, помогут нам в дальнейшей работе. А чтобы вы их не потеряли, но продолжили развивать

выполните дома следующие задания.

Домашнее задание.

Выясните, при каких значениях параметра а уравнения имеют решения:

• sinх + 2 cosx = а,
• sin²x + 3sinx cosx - 2cos²x = а,
• sin2х = -3а² + 6а – 4

При каких значениях параметра а уравнения не имеют решений.

• 2tg²х + 5tgх + а = 0,
• sin²x – 2(а – 3) sinx + а² - 6а + 5 = 0

Рефлексия.

С учащимися обсуждается работа на уроке; выясняется, что нового узнали.

Приложение