Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев делать
его немного занимательным.
Б. Паскаль.
Цели урока:
- формирование знаний о последовательностях и прогрессиях и умения применять в простых случаях; формирование культуры поведения на лекции;
- развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать проводить аналогию;
- воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
Структура урока-лекции:
1.Тема и цели лекции (2мин.).
2.Ознакомление с новым материалом (80мин.):
- Содержание.
- Из истории.
- Встреча с последовательностями:
- знакомимся с новым видом функции;
- рекуррентный способ задания последовательности;
- формула общего члена последовательности;
- задачи;
- свойства последовательностей. - Встреча с прогрессиями:
-определение арифметической/геометрической прогрессии;
- формула общего члена прогрессии;
-сумма конечного числа членов прогрессий;
-характеристические свойства прогрессий;
-задачи на прогрессии.
3.Подведение итогов (5мин.).
Здравствуйте дети, прошу вас сесть.
Во множестве чисел прогрессии есть:
Арифметическая, с разностью d
И геометрическая, знаменатель -q.
Наша задача – познакомиться с ними
И рассмотреть их как что-то единое.
Дать определение, пролить весь свет
На свойства и получить ответ:
Как сумму найти и как любой член.
И как геометрическая делает крен
В бесконечность, а, может, и нет.
Всё, не спеша, изучим мы с вами.
Сперва познакомимся мы с рядами.
Рассмотрим вот натуральный ряд:
Все числа здесь по порядку стоят:
Один, два, три и т.д. n, n+1 или n+6.
Вот у нас и последовательность есть.
Но если числа возводим в квадрат,
То новый, ребята, получим мы ряд:
Один и четыре и девять и сто…..
Видите, как всё это очень просто.
А можно дроби ещё записать,
И сразу получишь отметку ты пять!
1; ½; 1/3; …; 1/n; 1/n+1;…
Но сделаешь вывод быстро ты сам,
И радость тебя унесёт к небесам.
Сей вывод гласит: Если есть правило,
Где натуральному числу n правильно
Ставится в соответствие некоторое an.
То задается последовательность
а1; а2;…аn.
а1 – номер первый, а а8 – номер восьмой,
аn – номер энный и аn+7 – эн плюс седьмой.
Задать последовательность–правило задать,
Которое позволит номер указать
Любому члену, как функцию аn
От натурального числа.
Речь идет о последовательности числовой.
И для задания её есть способ такой:
Первый, формулой n –го члена зовётся
(аn = n2; an =1/ n; an =3n и др.)
Второй – рекуррентным быть клянется,
Который позволит вычислить n + 1
Через предыдущие n членов известных.
Истории известно вот
Последовательность ряда Фибонначи:
1; 1; 2; 3; 5; 8; … или иначе
аn = 1/√5[((1/2(1 + √5))n - (1/2(1 - √5))n].
Вот это формула, вот это да!
Пугаться ее не надо, друзья!
Последовательность опишем мы словесно,
чем формулою вами неизвестной,
Где каждый последующий член есть
Сумма двух предыдущих. И новую весть
Рекуррентная ж формула вам несет,
Что аn+2 = an + an+1, а1 = 1, а2 =1.
И в этом ее почет!
Формула не такая большая,
Удобная очень, простая.
А третий, как видишь, словесный.
Если последовательность конечная,
То или графическая, или табличная.
По области определения –
конечная или бесконечная,
По области значения-
Числовая или нечисловая.
Есть возрастающая и невозрастающая,
Есть убывающая и неубывающая,
Есть колеблющаяся и стационарная,
Короче, монотонная и немонотонная.
Ограниченная и неограниченная,
Что сверху, что снизу.
Возможно, имеет период,
Нули, наименьшие и наибольшие значения.
Все это - свойства последовательности,
И знать их - дело нашей чести.
Два вида прогрессий узнать мы должны
Как частные случаи последовательности.
«Прогрессия» - означает движение вперед.
История в клинописных табличках несет
От вавилонян и в папирусах от египтян,
(Вы не подумайте, что это обман),
Задачи: «Пусть тебе сказано:
Раздели 10 мер ячменя между 10 людьми,
Разность же между каждым человеком
И его соседом равна 1/8 меры».
Можно привести и другие примеры:
«Как-то раз индийский царь
По прозванию Шерам
Тотчас подданных собрал
И такую речь держал:
- Все забавы надоели!
Новых игр мы захотели!
И без всякой там преграды,
Обещаем мы награды!
Сету, подданных собрат,
Был на выдумку мастак -
Предложил царю игру -
Доску шахматную.
Решил Сету над царем пошутить,
Стал он такую награду просить:
- Не надо мне злата и серебра тож,
Пшенично зерно на клетку кладешь,
В другую же клетку – зернышка два,
А в третью – четыре кладешь ты зерна,
На четвертую – восемь клади ты сполна,
Ну, и так далее все до конца,
На каждую следующую – больше в 2 раза.
( Но в этом-то вся и проказа).
Потом это быстро все ты прибавь
и как награду мне предоставь!
На этом закончим истории введение
И дадим прогрессиям определение.
Арифметической/Геометрической прогрессией называется
(Все как в определении полагается)
последовательность чисел, отличных от нуля
(Чтобы вы время не теряли зря),
Где каждый член, начиная со второго,
(не могу придумать ничего другого)
равен предыдущему члену
(сейчас ты увидишь подмену),
сложенному с одним и тем же числом./умноженному на одно и то же число.
Вот и получается, друзья,
Два в одном, и разделить нельзя.
Вроде бы едины, но противоположны.
Казусы в математике всякие возможны.
Кажется, примеры не типичны,
а определения – аналогичны.
Другими словами говоря,
an – арифметическая/геометрическая прогрессия,
если условие выполняется:
| an+1 = an + d | bn+1 = bn∙q |
| d-разность | q- знаменатель |
А дальше увидишь, приятель,
Как это все применяется
| Пусть а1=1, d=2 | b1=2, q=2 |
Записать, какая прогрессия получается.
| (1, 3, 5, 7,…) | (2, 4, 8, 16, …) |
| Если а1=-2, | если b1=8, |
| d=-2, то | q=1, то |
| -2, -4, -6, -8,… | 8, 8, 8,… |
| an+1 – аn= d | bn+1/ bn=q |
А сейчас попробуем способ отыскать,
Который поможет любой член написать
И потребует меньшей вычислительной работы,
Вы же все - таки не роботы.
По определению прогрессии
| а2= а1+d | b2=bn*q |
| а3= а2+d= | b3= b2*q= |
| (а1+d)+d=а1+2d | (b1*q)*q=b1*q2 |
Найди еще а4 (b4) и n-й попробуй записать.
И дальше, подумай ты сам
Придешь, несомненно, к формулам:
| an= а1+ d*(n–1) | bn= b1*qn-1 |
Что называется формулой n-ого члена.
Рассмотри еще два примера.
| Дано (сn):с1=0.62, | Дано (bn): b1=12.8, |
| d=0.24 | q=1/2 |
| Найти с5 | Найти b7 |
Мы буквы на числа здесь поменяем
И дружно ответ все подсчитаем.
А вот и пример другой,
Только подход применим иной:
| Является ли число | Найдем | |
| -122 членом | b8 | |
| арифметической | геометрической | |
| прогрессии | ||
| 23, 17.2, 11.4, 5.6,… | b1=162, b3=18 | |
Выведем формулу суммы n-первых членов.
Начнем как всегда мы с простых примеров.
Требуется найти сумму 100 натуральных чисел,
Главное, чтоб результат не зависел,
Как мы будем считать.
Давайте начнем писать,
Искомую сумму обозначим за S,
Запишем её мы дважды,
И тут возникает уже интерес,
И это увидит каждый:
S=1+2+3+…+99+100
S=100+99+…+2+1
Первая сумма в порядке возрастания,
Вторая - в порядке убывания.
Обратите на это особое внимание,
Даю немого времени на понимание,
Сложив почленно эти равенства,
Почувствуем суть таинства:
Пар получилось ровно сто,
Сумма каждой — 101, просто!
Итак, наш результат 5050
2S=100*101; S=101*100/2
А теперь, не плачь и не ной,
Общую формулу доказать ты изволь:
Пусть Sn= а1+ а2+…+ аn-1+ аn,
Рассуждая аналогично,
Выведи сам и лично
Формулу мне предоставь.
Все на места ты поставь.
Не торопись, не спеши,
Вывод ты свой запиши.
Вот и получишь ответ
Sn=1/2(a1 +an) n (1) или
Sn=1/2(2a1 + d(n-1))n (2).
Пар получилось ровно n
И в каждой скобке (a1 +an).
Хочешь спросить меня, почему?
Вот я сейчас вам всё докажу.
a2 + an-1= a1+d + a1+(n-2)d+ a1+d+a1+nd - 2d
= a1 + a1+nd-d = a1 + a1+(n-1)d=(a1 +an).
А как получить из первой вторую
Формулу, как видишь, другую?
Верно вот здесь рассуждаешь:
Формулу n-го члена ты подставляешь!
Можно и тут пример рассмотреть,
Так что придется тебе попотеть.
Найдем сумму членов тридцати
Заданной последовательности
an = 5n – 4. Решение тривиально.
Главное просчитать все правильно
Найдем первый и тридцатый
а1=1, а30=5*30 – 4 =146,
затем S30= ½(1 + 146)*30 =2175.
Мы увлеклись арифметической,
А как же с прогрессией геометрической?
Формула суммы и здесь так нужна.
Задача – легенда тут нам вот важна.
Вспомните все вы цареву слугу
Поможем задачку решить мы Сету.
Сумму всех зерен быстрей подсчитай,
Ну-ка, смекни-ка и начинай!
S =1+2+4+8+… = 1+2+22+23+…+263 (1)
Как же теперь нам поступить?
Тот же прием здесь применить?
Ну-ка, подумайте, что это даст.
Ладно, уж сделаю первый я пас:
Надо умножить всю сумму на два,
Даже кругом идет моя голова.
2S = 2+22+23+24 +…+263 + 264 (2).
Если посмотришь внимательно,
То два, конечно, знаменатель.
Вычтем сейчас из второго начальное.
Вот и получим что-то печальное.
S = 264 – 1.
Если все это в степень возвести,
То не сумеем число мы прочесть.
264 – 1= 18446744073709551615.
(Восемнадцать квинтиллионов
четыреста сорок шесть квадриллионов
семьсот сорок четыре триллиона
семьдесят три биллиона
семьсот девять миллионов
пятьсот пятьдесят одна тысяча
шестьсот пятнадцать)
Сделаю здесь отступление,
Всем вам на удивление.
Если собрать этот весь урожай,
(думать скорее ты начинай).
Нужна планета, вот вам мой сказ,
С поверхностью, большей Земли в 2000 раз.
А теперь, что типично,
Снова аналогично,
Выведи формулу суммы n-первых членов.
Но, уже без каких-либо примеров.
Sn = (bnq-b1): (q-1) или Sn = b1(qn-1): (q-1),
q ≠ 1.
Составим сумму Sn =b1+ b2 +b3 +…+bn
Умножим на q и сразу же вычтем,
Еще кое-что по ходу учтем:
b1 q = b2 ; b2 q = b3 …
В общем, идем таким же путем.
И если будешь внимательным,
Формулу получишь обязательно.
Sn = b1+ b2 +b3 +…bn-1+bn ,
Sn q = b1q+ b2q +b3q +…bn-1q+bnq,
Sn q - Sn = -1+bnq,
Sn (q-1) = bnq-1, Sn = (bnq-b1): (q-1).
А вот сюда мы примерчик добавим,
Даже сомнений вам не оставим.
Найти сумму шести первых членов,
Если третий равен 12, а пятый - 48.
А может, подсказка нужна?
Тогда посмотри ты скорее сюда.
(b5 = b4 q = b3q2, q2 = b5 : b3, q = ±2
если q = -2, то b1=3, S = -6
если q = 2, то b1=3, S = 189).
Вот и все формулы мы закрепили.
Жаль, что про свойства как-то забыли.
По определению прогрессий
| an+1 = an +d; | bn = bn-1q; |
an = an-1 + d |
bn+1 = bnq |
| Выражаем | |
| разность | знаменатель, |
| затем приравняем | |
| an+1 –an = an – an-1 | bn : bn+1 = bn-1 : bn, |
| Преобразуем | |
| 2an = an+1 + an-1 | bn2 = bn-1 * bn+1 |
| получаем | |
| an = ½(an+1 + an-1) | bn =  |
| среднее арифметическое | среднее геометрическое. |
И дальше, как уместно,
Даем правило словесное.
Каждый член арифметической/геометрической
прогрессии, кроме единицы
(пишите не в каждой строчке страницы),
равен среднему арифметическому/геометрическому
двух соседних,
А можно и не соседних, но равноудаленных
От того члена, который определяется.
Надо быть очень внимательным,
Аккуратным и наблюдательным,
Когда на практике это все применяется.
Между числами
3 и 19; 1 и 256,
вставить три средних
арифметических геометрических.
Решение.
Нужно найти последовательность
3; а2; а3; а4; 19. 1; b2; b3; b4; 256.
По определению среднего
арифметического; геометрического
а3=(3 + 19):2=11; b3= √1*256 = 16,
а2= (3+11):2=7; b2= √ 1*16 = 4
а4=(11+19):2=15; b4 = √16*256 = 64.
Получаем
3; 7; 11; 15; 19. 1; 4; 16; 64; 256.
Прогрессия очень была всем нужна
Даже в такие далекие времена.
Она помогала решать хозяйственные вопросы
И умело распределять продуктовые запросы.
А могла без баловства и кокетства,
Без обид разделить и наследство.
И сейчас про неё не забыли,
По законам прогрессий клетку разделили.
В астрономии, химии, физике,
Конечно же, в математике,
Очень нужна в информатике,
В биологии, жизненной практике.
Можно и дальше без меры
Приводить другие примеры.
А сейчас необходимо итог подвести:
1) Вы узнали, что есть последовательности,
Которые раньше называли рядами.
Но надо быть только внимательным.
Для того чтобы ряд записать,
Нужно, хотя бы, правило знать,
По которому определяется любой ее член.
И здесь, вероятно, не будет проблем.
А дальше прогрессии идут
И много информации несут.
Определение арифметической/геометрической,
Записью словесной, аналитической,
Табличной и также графической.
Так формул много узнали вы,
И способы, как мы их вывели.
Все это необходимо запомнить,
Потом на практике применить.
Немного мы примеров разобрали,
Но как бы образец задали.
Для выполнения других заданий
Достаточно приобретенных знаний.
Задание на дом: лекцию прочесть,
В учебник заглянуть, там материал сей есть.