Цели:
- развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;
- формирование знаний о прямоугольнике и умений применять его определение и свойства на уровне обязательной подготовки;
- воспитание уважительного отношения к сверстникам.
Оборудование:
- переносные доски с готовыми чертежами;
- каркасные модели четырехугольников.
Структура урока:
- Знакомство с темой урока, постановка его целей (2 мин).
- Проверка домашнего задания (5 мин).
- Актуализация знаний учащихся по пройденному материалу (6 мин).
- Определение понятий прямоугольника и доказательство его свойств (10 мин).
- Первичное закрепление изученного (12 мин).
- Домашнее задание (2 мин).
- Подведение итогов урока (3 мин.).
- Резерв: дифференцированные задания.
Ход урока
1. Знакомство с темой урока, постановка его целей.
Проверка готовности класса к уроку, напоминание учащимся, что на этом занятии продолжается изучение темы «Четырехугольники». Сообщение учащимся, что на данном уроке будет рассматриваться один из частных видов параллелограмма, его определение и свойства, их применение при решении задач.
2. Проверка домашнего задания.
Вызываются 2 ученика к доске для решения задач №14, 20 §6 из домашнего задания. В это время учитель опрашивает остальных учащихся о выполнении домашнего задания, отвечает на вопросы учащихся по домашнему заданию и осуществляет устную проверку знаний по изученному материалу о четырехугольниках по вопросам:
- Какая фигура называется четырехугольником?
- Какие стороны четырехугольника называются противолежащими?
- Что такое параллелограмм?
- Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма?
Ученики у доски переходят к объяснению решений своих задач. Остальные учащиеся вместе с учителем контролируют их ответы, оформление записей, корректируют и дополняют записи в своих тетрадях. Отвечавшим у доски задаются дополнительные вопросы:
- Что такое диагонали четырехугольника?
(Ответ: отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются его диагоналями).
Учитель оценивает знания отвечавших у доски и подводит итоги выполнения классом домашнего задания.
3. Актуализация знаний учащихся по пройденному материалу.
Для подготовки учащихся к усвоению нового материала повторяются и систематизируются их знания и умения в процессе устного решения упражнений на готовых чертежах. Выставляется переносная доска с первой группой задач, оформленных в виде таблицы 1.
Таблица 1.
Учитель предлагает учащимся по желанию решить эти задачи.
Один из учеников разъясняет решение первой задачи:
Решение 1 задачи: У треугольников ABC и DBC AC=CD и AB=BD по условию, а ВС — общая сторона. Поэтому они равны по трем сторонам.
Другой ученик решает вторую задачу:
Решение 2 задачи: У треугольников DEC и DKC равны стороны DE и; DK и углы EDC и CDK, а сторона DC общая. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение 3 задачи объясняет третий ученик:
У прямоугольных треугольников ОРК и МРК равны катеты ОР и РМ, а катет КР общий. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними (или по двум катетам, если этот признак равенства прямоугольных треугольников был сформулирован в процессе обучения).
Выставляется другая переносная доска с готовыми чертежами (см. табл. 2).
Таблица 2
Учитель также предлагает учащимся по желанию решить данные задачи.
Один из учащихся решает первую задачу:
Решение 1 задачи: У четырехугольника ABCD диагонали пересекаются в точке О и делятся ею пополам, поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по теореме 6.1.
Другой ученик объясняет решение второй задачи:
Решение 2 задачи: Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам, отсюда углы ВСА и CAD равны. Поэтому прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых, а значит, параллельны и стороны ВС и AD. Аналогично параллельны стороны АВ и CD. Тогда четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению.
Решение третьей задачи поясняется третьим учеником:
Решение 3 задачи: У четырехугольника ABCD противолежащие стороны ВС и AD равны по условию и параллельны, так как прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых. Поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по задаче 18 § 6.
Учитель подчеркивает, что повторенный материал будет использован также при изучении одного из известных им четырехугольников и записывает вместе с учащимися тему урока: «Прямоугольник».
4. Определение понятий прямоугольника и доказательство его свойств.
Для введения определения понятия прямоугольника рассматриваются следующие три каркасные модели четырехугольников (рис.1,2,3).
Учитель задает вопросы учащимся:
- Найдите по виду этих четырехугольников их общие свойства.
(Ответ: у каждого из них противолежащие стороны параллельны, поэтому они все являются параллелограммами).
- Как еще называют средний из этих параллелограммов?
(Ответ: прямоугольником).
- Чем отличается прямоугольник от двух других параллелограммов?
(Ответ: у него все углы прямые).
Учитель диктует, а учащиеся записывают определение прямоугольника:
«Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые».
Учитель спрашивает у учеников, какими свойствами параллелограмма обладает прямоугольник?
(Ответ: у прямоугольника противолежащие стороны равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам, диагонали прямоугольника равны – теорема 6.4).
Для доказательства теоремы 6.4 на доске изображается прямоугольник ABCD и его диагонали (рис.4).
Учитель повторяет формулировку теоремы и предлагает одному из учеников продиктовать, что дано и что нужно доказать.
Если ученики затрудняются ответить, тогда учитель начинает переводить формулировку теоремы из категоричной формы в условную:
- Сформулируем теорему в другом виде, а именно:
если ABCD — прямоугольник, то... (Учитель предлагает закончить предложение одному из учеников).
Ответ ученика:...Его диагонали равны.
Учитель снова предлагает учащемуся определить, что нам дано и что нужно доказать?
Ответ: ABCD — прямоугольник, AC и BD — его диагонали. Надо доказать, что диагонали АС и BD равны. Доказательство проводится с использованием метода восходящего анализа.
Учитель говорит детям, что для того, чтобы доказать равенство диагоналей АС и BD сначала необходимо выяснить, являются ли они, например, сторонами треугольников BAD и CDA.
Один из учеников подтверждает этот факт.
Учитель задает наводящий вопрос: - Для того, чтобы доказать равенство диагоналей, достаточно доказать равенство, например, каких фигур?
Ответ учащегося: - Треугольников BAD и CDA.
Учитель спрашивает у одного из учащихся: - Для того чтобы доказать равенство треугольников BAD и CDA, что достаточно установить?
Ответ учащегося: - Что они прямоугольные, катет AD общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны прямоугольника.
Учитель подводит итог: - Треугольники BAD и CDA равны по двум катетам, а из их равенства следует и равенство гипотенуз. Гипотенузы же есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
Записи на доске при этом оформляются в следующем виде (см. табл. 3).
Таблица 3
5. Первичное закрепление изученного.
Для закрепления изученного учащимся предлагается сначала прочитать содержание п.54 учебника. Затем учитель отвечает на возникшие у ребят вопросы и предлагает записать результат решенной в учебнике задачи №24 в виде признака прямоугольника:
- Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Далее решаются задачи №25 и 26, для чего последовательно вызываются 2 ученика. Результат решения задачи №26 записывается в виде еще одного признака прямоугольника:
- Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
С помощью дополнительных вопросов к отвечающим учащимся повторяются и закрепляются изученные определение, свойства и признаки прямоугольника.
6. Домашнее задание.
На дом задается изучить содержание п.54 и решить задачи №27, 28 §6. Обращается внимание на то, что необходимо знать определение, свойства и признаки прямоугольника и уметь доказывать теорему 6.4.
Учащимся дается возможность ознакомиться с условиями задач №27 и 28, а также выяснить вопросы, связанные с выполнением домашнего задания.
7. Подведение итогов урока.
Итоги урока подводятся оценкой знаний отвечавших учеников и ответами на вопросы типа:
- Что такое прямоугольник?
- Какими свойствами параллелограмма обладает прямоугольник?
- Какое свойство прямоугольника доказывается в теореме 6.4?
- Сформулируйте признаки прямоугольника.
8. Резерв: дифференцированные задания.
После выполнения программы отмеченных выше этапов урока и при наличии времени могут быть использованы следующие дифференцированные задания:
- Постройте прямоугольник по двум смежным сторонам.
- Постройте прямоугольник по стороне и диагонали.
- Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.
- Постройте прямоугольник по заданным серединам всех его сторон.
- Постройте прямоугольник, если заданы точка пересечения его диагоналей и две соседние вершины.