Урок по теме "Решение задач на вычисление площади четырехугольников"

Урок рассчитан на один академический час и проводится после того, как изучены формулы для вычисления площадей треугольников, прямоугольника, квадрата, параллелограмма и трапеции.

Цели урока:

1. Образовательные: повторить ранее изученные формулы для вычисления площадей выпуклых фигур, вывести и научиться пользоваться формулами для вычисления площадей выпуклых четырехугольников, имеющих перпендикулярные диагонали;
2. Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, выработка математической зоркости;
3. Воспитательные: воспитание трудолюбия, интереса к предмету, умение внимательно выслушивать ответы одноклассников.

Необходимое оборудование:

• компьютер,

• проектор.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Устная работа.

Проводится по чертежам, выведенным с проектора на экран.

Задание. Для каждой из геометрических фигур найти площадь, назвав используемую формулу. Опрос ведется фронтально, учащиеся могут отвечать по желанию.

3. Введение новых знаний.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что до сих пор, в основном, площади фигур вычислялись по двум элементам: основанию и высоте, проведенной к основанию. Однако, в случае, если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, его площадь можно вычислить, зная длины диагоналей.

Учитель просит учащихся сформулировать тему урока. Учащиеся предлагают свои варианты темы урока. Принимается такая: «Вычисление площади выпуклого четырехугольника, имеющего взаимно перпендикулярные диагонали».

Задача. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника, имеющего взаимно перпендикулярные диагонали, равна половине произведения его диагоналей.

Запись на доске.

Дано:

ABCD – вып. четырехугольник,

AC ┴ BD.

Доказать:

S_ABCD=1/2 ACBD.

Доказательство:

1. пусть AC ∩ BD = O, тогда

S_ABC=1/2 ACBО, т.к. BO является высотой в ABC,

S_ABC=1/2 ACDO, т.к. DO является высотой в ADC.

2. S_ABCD= S_ABC+ S_ADC = 1/2 ACBО + 1/2 ACDO = 1/2 AC(BO+DO)= 1/2 ACBD, ч.т.д.

Учитель. Какие вы знаете четырехугольники с взаимно-перпендикулярными диагоналями?

Ученик. Ромб и квадрат.

Учитель. Давайте запишем формулы в общем виде для вычисления площадей ромба и квадрата для их диагоналей.

Запись на доске:

S_ромба=1/2d₁d₂, где d_1, d₂ – диагонали ромба.

Учитель. Что можно сказать о диагоналях квадрата, кроме того, что они взаимно перпендикулярны?

Ученик. Диагонали квадрата равны, то есть d₁ = d_2.

Учитель просит ученика записать формулу для вычисления площади квадрата по его диагонали.

Ученик пишет на доске:

S_{квадрата} = ½ d², где d – диагональ квадрата.

4. Закрепление выведенных формул.

Учитель. Приведите свои примеры использования выведенных формул.

Ученик. Найти площадь ромба, если его диагонали равны 3см и 6см.

Решение: S=1/2 36 = 9 (см²).

Ученик. Найти площадь квадратного участка земли, если его диагональ равна 10м.

Решение: S=1/2 10²=50 (м²).

Учитель. Придумайте обратные задачи.

Ученик. Найти одну из диагоналей ромба, если его площадь равна 20 см², а вторая диагональ 8 см.

Решение: d₁= 2S/d₂, d₁= 220/8 = 5 (см)

Ученик. Найти диагональ квадрата, если его площадь равна 18 см².

Решение: d²=2S, d²=36, d=6(см).

Учитель. Давайте теперь решим более сложную задачу, в которой известны площадь ромба, а также соотношение между длинами диагоналей, а требуется найти диагонали.

(На эту задачу лучше вызвать сильного ученика, т.к. она решается с помощью уравнения и является сложной для слабых учеников). Во время обдумывания решения предложенной задачи средними и сильными учениками класса, слабые получают карточки-задания на отработку выведенных формул. Каждая карточка содержит по 2 простые задачи типа:

1. Вычислить площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 5 см, а другая в 4 раза больше.

2. Вычислить диагональ квадрата, если его площадь равна 32 см².

Задача (для средних и сильных учеников).

Одна из диагоналей ромба, площадь которого равна 27 см², в 1,5 раза больше другой диагонали. Найти диагонали этого ромба.

Ученик записывает на доске:

Дано:

ABCD – ромб,

AC = 1,5 BD,

S_ABCD = 27 см².

Найти:

AC, BD.

Решение:

1. S_ABCD = 1/2 ACBD.

Пусть BD = x см, тогда AC = 1,5x см. Т.к. по условию задачи S_ABCD = 27 см², то получаем уравнение:

1/21,5xx = 27,

1,5x²=54,

x²=36,

x=6 ( x=-6 не подходит по смыслу задачи).

2. BD = 6 см, AC = 1,56= 9 см.

Ответ : 6 см и 9 см.

5. Итог урока.

Учитель. Какие новые формулы мы сегодня узнали?

Ученик. Формулы для вычисления площадей выпуклых четырехугольников, имеющих взаимно-перпендикулярные диагонали, в частности, для ромба и квадрата.

Учитель. Какая еще из известных вам геометрических фигур может иметь взаимно-перпендикулярные диагонали?

Ученик. Трапеция.

Учитель. Верно, значит можно вычислить и площадь трапеции, если у нее взаимно-перпендикулярные диагонали. Этими формулами можно пользоваться наряду с ранее изученными.

6. Домашнее задание (творческое).

• Придумать по 2 задачи (2 прямые и 2 обратные) на применение изученных формул и записать их с решениями. Чем сложнее задача, тем выше оценка.
• Для слабых учеников (у кого не получится придумать задачи):

Задача. Найти площадь трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 10 см и 16 см.