Урок разноуровневого обобщающего повторения. Тема: "Показательная функция. Решение показательных уравнений"

Разделы: Математика


Длительность урока 40 мин. Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Цель урока:

Обобщить теоретические знания по темам “Показательная функция, свойства показательной функции” и “Решение показательных уравнений”, рассмотреть методы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

1 этап урока – организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

2 этап урока (5 минут) – фронтальный опрос.

Повторение теоретического материала по теме “Показательная функция и ее свойства”.

? Учитель обращается к учащимся с вопросом: “Какую функцию называют показательной?”

(Учащиеся дают свои варианты определений; важно, чтобы прозвучало определение “Функцию вида у = ах, где а > 0, a ? 1 называется показательной функцией с основанием а”.)

? Учитель: “Какими основными свойствами обладает показательная функция?”

(Учащиеся указывают область определения функции, множество значений функции, характер монотонности в зависимости от значения параметра а, точку пересечения графика функции с осью ординат.)

Должны прозвучать ответы:

Область определения функции – множество R действительных чисел;

– Множество значений функции – множество R+ всех положительных действительных чисел;

– Если а > 1, то функция возрастает на всей числовой прямой; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей числовой прямой (на множестве R);

– График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1), пересечения с осью абсцисс нет.

Учитель демонстрирует графики функций, обращая внимание на то, как определить значение параметра а относительно 1 и значения функции при х = а.

(Используя интерактивную доску (или виде слайдов), проектируются слайды, на которых изображены графики функций:

1) у = ах, при а > 1

2) у = ах, при 0 < а < 1).

? Учитель: “Какие виды преобразования графиков вы знаете и как определить смещение точек вдоль осей координат?”

(На доске изображены графики функций: 1) у = 3–х; 2) у = 3 – х +1; 3) у = 3 х + 1;

учащиеся отвечают на вопросы, важно услышать:

– для построения графика функции f (x) + b , где b – постоянное число, надо перенести график функции f(x) на вектор (0; b) вдоль оси ординат.

– для построения графика функции f (x + a), где a – постоянное число, надо перенести график функции f (x) на вектор ( а; 0) вдоль оси абсцисс.)

Ответы учащихся иллюстрируются на доске (слайды или анимации, учитель показывает вектор смещения, используя интерактивную доску).

3 этап урока (5–7 мин)

Устная работа по решению простейших задач на тему “Показательная функция, ее свойства”.

(Задания можно предложить с использованием интерактивной доски, слайдов презентации или раздаточного материала.)

Учитель предлагает учащимся применить только, что сформулированные теоретические факты к решению задач.

1. На одном из рисунков изображен эскиз график функции . Укажите этот рисунок.

(Изображены графики функций: 1) y = 3x; 2) ; 3) y = ; 4) y = log3 x)

(Ответ № 2)

2. Укажите область значений функции .

1) (2; + ); 2) (5; + ); 3) (- ; + ); 4) (3; + )

(Ответ № 4)

3. На одном из рисунков изображен эскиз график функции . Укажите этот рисунок.

(Изображены графики: 1) у = 2 х – 1; 2) у = 2 – х +1; 3) у = 2 – х + 1; 4) у = 2 х + 1).

(Ответ № 4)

4. Для каждого из рисунков (см. задание 3) укажите функцию.

(Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ).

5. Укажите характер монотонности функций:

а) у = 5х; б) ; в) ; г) ; д) .

(Ответы: 1) монотонно возрастающая; 2) монотонно убывающая; 3) монотонно возрастающая; 4) монотонно убывающая; 5) монотонно убывающая).

(Учащиеся по очереди отвечают на сформулированные вопросы, обосновывая свой ответ, при этом ссылаясь на теоретический материал, учитель вносит коррективы при необходимости.)

4 этап урока (7 – 8 мин)

Повторение теоретического материала по теме “Равносильные уравнения. Решение показательных уравнений”.

С учетом подготовки учащихся возникла необходимость повторения теоретического материала. Фронтальный опрос проводился по следующим вопросам:

– какие уравнения называются равносильными?

– что можно сказать о корнях равносильных уравнений?

– что называют областью допустимых значений уравнения f(x) = g(x)?

– какие способы решения уравнений вы знаете?

(Должны прозвучать ответы:

1) два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

2) корни равносильных уравнений совпадают.

3) областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

4) графический метод и аналитический: вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, сведение к простейшему путем тождественных преобразований.

Каждый ответ сопровождается примером учащегося, учитель следит за соответствием ответа и примера.)

? Учитель: “Когда возникает необходимость в проверке полученных корней уравнения?”

(Должен прозвучать ответ: если при решении уравнения, мы на каком-то шаге выполняем преобразования без учета ОДЗ (вводим новую переменную, возводим в квадрат или четную степень, освобождаемся от знаменателя (умножаем на общий знаменатель), сокращаем на общий множитель.)

? Учитель: “Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?”

Ответ: Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида

ах = b, где a > 0, a 1.

? Учитель: “Что вы можете сказать о корнях этого уравнения?”

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при b > 0, при b 0 уравнение корней не имеет.

? Учитель: “Как найти корень уравнения?”

Ответ: х = log ab. Если же b = ac, то х = с.

Учитель предлагает учащимся привести примеры простейших показательных уравнений и записать их решение. Это могут быть примеры типа: 3 х = 5; ; 2 х = 2; , важно, чтобы примеры были с целыми и дробными основаниям; равные 1 (вспомнить а0 = 1) и чтобы b нельзя было представить в виде степени с основанием а. Учащиеся комментируют свои решения.

Учитель приглашает одного из учащихся (более подготовленного) к доске для решения уравнения: , класс записывает в тетрадь решение.

Ответ: х = 1.

? Учитель: “Нужно ли делать проверку?”

Ответ: Нет, так как при решении был совершен равносильный переход.

Задание классу: решить уравнение 9х – 8•3х – 9 = 0.

(Предварительно обсудив алгоритм его решения:

  1. ввести новую переменную, учесть ОДЗ для введенной переменной (с учетом свойств показательной функции);
  2. решить квадратное уравнение,
  3. сделать обратную замену
  4. выписать ответ.)

Решение проверяется по заранее записанному решению на доске: это может быть затемненный экран интерактивной доски или слайд в презентации, или решение за закрытой доской в зависимости от возможностей кабинета.

Ответ: 2.

Учитель обращает внимание учащихся, что в основании показательной функции может стоять функция и тогда уравнение приобретает вид: , которое равносильно совокупности систем (предлагается записать сильному учащемуся на доске):

5 этап урока (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель выдает задания для самостоятельной работы (лежат на столе учащихся), сообщая, что на ее выполнение отводится 15 минут. Работа в четырех уровнях, не менее трех вариантов для каждого уровня.

  • 1-й уровень – учащиеся со слабой математической подготовкой (0–5 баллов при выполнении диагностической работы из 12 возможных),
  • 2-й уровень – учащиеся с недостаточной математической подготовкой (6–8 баллов при выполнении диагностической работы),
  • 3-й уровень – учащиеся с хорошей математической подготовкой (9–11 баллов при выполнении диагностической работы)
  • 4-й уровень – учащиеся с высокой математической подготовкой (12 баллов).

Задания 1 уровня.

Задания аналогичные тем, по которым у них уже были успехи и задания, которые разбирались на уроке. Все задания базового уровня сложности. Правильные ответы отмечены *. Можно предложить следующие задания.

1. Вычислите: .

1) ; 2) 30; 3) 10; 4)* 15.

2. Упростите выражение .

1) 4m4; 2) ; 3)* : 4) 4m.

3. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции .

1) 1,5; 2) 2; 3) ; 4)* 0.

4. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите этот рисунок.

(Изображены графики функций: 1) у = ; 2) у = 2 х – 1; 3) ; 4) )

Ответ: 4.

5. Решите уравнение: .

Ответ: 1,75.

6. Решите уравнение: 16 • 3х – 3х = 15.

Ответ: 0.

Задания 2 уровня .

Задания базового уровня сложности, но среди них есть задания, которые не разбирались на уроке, одно задание повышенного уровня сложности, которое разбиралось на уроке.

1. Вычислите: .

1) 7,25;
2) 7,1;
3)* 7,01;
4) 9,5.

2. Укажите область определения функции .

1) 3)
2)* 4)

3. График какой функции изображен на рисунке?.

Рис. 1

1) 2) ; 3) ; 4)

Ответ: 4.

4. Укажите наименьшее целое значение функции .

1) – 1; 2) 0; 3)* 1; 4) .

5. Решите уравнение .

Ответ: 0,5.

Задания 3 уровня сложности.

Учащимся 3 группы были даны задания из книги “Тестовые задания по алгебре и началам анализа” Е.А. Семенко с вложенными бланками для ответов и номерами варианта, который должен выполнять каждый учащийся (6 вариантов по теме “Показательные уравнения” с. 98), 2 учащийся решают свои задания на доске, для последующей проверки./ Можно предложить задания с полной записью решения.

Решить уравнения:

а) 2 2х + 1 = 4;

б) ;

в) (7 3-х) 3 = 49;

г) (2 х)2 • 2 – 3 = 2 ;

д) 625 . 25 х = ;

е) .

Задания 4 уровня сложности.

(Задания выполняются в тетрадях, с последующими комментариями учителя; уровень подготовки класса не позволяет обсуждать это решение со всеми, т. к. в классе большинство учащихся имеют слабую математическую подготовку и для них полезнее обсуждение заданий 3 уровня). В своих работах учащиеся этой группы должны были предоставить краткий ответ на первое задание и развернутое решение второго.

Вариант 1

Найдите решение уравнения , принадлежащее области определения функции .

Ответ: – 1.

Решите уравнение .

Ответ: – 1.

Вариант 2

1. Решите уравнение .

Ответ: 0.

2. Решите уравнение .

Ответ: 3.

Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает учащимся 1 группы выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

6 этап урока (5 минут)

Обсуждение решений записанных на доске.

На доске учащиеся решали две задачи (голубая карточка), это задачи из “Тестовых заданий по алгебре и началам анализа” Е.А. Семенко. Учащиеся, выполнявшие задания на доске, комментируют решения, отвечают на вопросы одноклассников, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.

7 этап урока (2 минуты)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель еще раз обращает внимание на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет оценки за работу на уроке.

Домашнее задание: обменяться вариантами заданий в группах и решить их; учащимся более подготовленным предлагается еще решить уравнение .

Ответ: 9.