Применение производной к решению математических задач практического содержания (10 класс, профильный курс математики)
Цель: формирование практических навыков применения теоретических знаний и общеучебных компетенций учащихся.
Задачи:
познавательный аспект - расширение общего кругозора школьников, стимулирование познавательной деятельности, умение находить и обрабатывать информацию;
учебный аспект- активизация мыслительной деятельности учащихся при решении задач прикладного характера, алгоритмизация деятельности;
воспитательный аспект - развитие умения работать в команде, активно слушать, уважать чужое мнение, формировать потребности в самовыражении и научном творчестве.
Введение
Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения.
Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.
В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы. Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение функции называется дифференциалом функции и обозначается dy, причем dy=y'(x)dx.
Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них. (Образцы задач может приводить как сам учитель, так и заранее подготовленные ученики).
Задача №1
Докажите, что уравнение 
имеет только один действительный корень.
Решение:
Рассмотрим функцию 
и найдем её интервалы монотонности. Имеем:
Производная f’(x) обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞).
На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция y = f(x) монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более ∞ чем в одной точке. Это значит, что функция y = f(x) на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корни функции могут быть в тех и только тех промежутках, на концах которых функция имеет разные по знаку значения. Имеем
Так как f(x) имеет различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.
Задача №2.
При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпенди- кулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?
Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени-
.Откуда следует:
. Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.
Задача №3.
Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы F, приложенной к центру тяжести. Какой угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.
Решение:
Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы F:N = P-F sinα, поэтому сила трения F тр = kN = =k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:
Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα). Далее находим силу как функцию угла α:
F(α)= kP/(ksinα+cosα). F'(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα)². Тогда F'(α)=0 при k=tgα.
Определим знак второй производной в этой точке…
Из решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент трения мал, веревка должна быть длинной.
Задача№4.
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией
f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.
Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f'(х)=0,0034х-0,18.Тогда f'(х)=0 при
х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,0034>0, следовательно, рас-
ход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.
Задача№5.
Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t² – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия.
Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной:U'(t)=0,45t2 - 4t U''(t)=0,9t-4
U'''(t)=0,9. Момент наименьшего оборота при U(t)=0, т.е.при t=8,9.Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4.Так как U'''(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.
Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.
Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:
- В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота;
- Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.
На пятом месяце ( точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из
кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.
Задачи из биологии и химии
Биологический смысл производной.
Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.
Химический смысл производной.
Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении tΔ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени .
Рассмотрим несколько задач
Задача №6.
Зависимость между количеством х вещества, получаемого в результате некоторой
химической реакции и временем t выражается уравнением Х=А(1+е) Определите скорость химической реакции в момент времени t.
Задача №7.
Закон накопления сухой биомассы у винограда сорта Шалса определяется уравнением y=0,003x- 0,0004x , где x- число дней от распускания почек, y-накопление биомассы в кг на 1 куст. Равенство отражает зависимость величин x и y как средний результат массовых
наблюдений. Выясните, как изменится сухая биомасса при изменении от 50 до 60 дней.
Задача №8.
Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?
Решение: 0<x<а. Значит f'(x)=2ax-3x² . Тогда 
. - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.
Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо
воздействиям.
Предлагается творческое задание (при наличии времени на уроке, если имеем в наличии сдвоенные уроки. Если такая возможность отсутствует, творческое задание выполняется дома).
Задача №9.
За последние 10 лет численность грызунов в городе Н выросла в 5 рази достигла 1 миллиона особей: по одной крысе на каждого жителя. За год одна пара крыс способна воспроизвести 50 штук себе подобных. По словам эпидемиологов, крысы являются переносчиками многих болезней – чумы, бешенства, энцефалита. Составьте задачу по приведенным данным и решите её.
Задача №10.
Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49х , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.
Подведение итогов.