“В мире нет места для некрасивой математики”, – писал Харди. Безусловно, не каждый человек может быть чувствительным к эстетической привлекательности математики, но есть люди, которым красота математики представляется как безусловная и несомненная реальность и кто в общении с этой красотой находит смысл и цель существования. Как возникает степень увлечённости математикой? Кому открывается её красота? Что такое “математический ум”? Это дар природы или результат воспитания? Можно задавать вопросы и задавать… Но на эти вопросы надо стремится дать ответы.
Безусловно, большинство студентов с обычными математическими способностями не отдают предпочтение математике, не ощущают в себе призвания к математике, не видят её красоту. Причины этого различные; но мы не будем останавливаться на этих причинах, а лучше постараемся более активно заниматься развитием творческих умов, желанию больше знать.
“Хочу знать – и весь сказ. Просто так! Потому что это – моя жизненная потребность, потому что без этого мне жизнь – не в жизнь. Хочу знать потому, что не могу не хотеть этого”, – так объяснял
А. Д. Александров своим студентам, когда они задали вопрос: “Зачем это Вам или нам нужно? Какую мы будем иметь от этого пользу?” А великий Данте в своей бессмертной поэме писал так:
Тот жалкий срок, пока ещё не спят
Земные чувства, их остаток скудный
Отдайте постиженью новизны,
Чтоб солнцу вслед увидеть мир безлюдный,
Подумайте о том, чьи вы сыны!
Вы созданы не для животной доли,
А к доблести и к знанью рождены!
Поговорим о бесконечности.
Хорошей иллюстрацией этого понятия являются своеобразные графические работы профессора МГУ Анатолия Тимофеевича Фоменко, в том числе и эта, под которой надпись гласит: “Одна из реализацией идей математической бесконечности: “Загадочный мир”.
Кто же такой Анатолий Тимофеевич Фоменко? В числе авторов одного из первых учебников по топологии был студент пятого курса механико-математического факультета МГУ Анатолий Фоменко. Спустя два года он защитил кандидатскую диссертацию, а спустя еще два года – докторскую. “Анатолий Тимофеевич 1945 года рождения, академик Российской Академии наук (РАН), действительный член МАНВШ (Международной Академии наук Высшей Школы), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой механико-математического факультета Московского Государственного университета.
Анатолий Тимофеевич решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, над которой бились математики, создал теорию инвариантов интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной Премии Российской Федерации 1996 года. Автор 180 научных работ, 26 математических монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, компьютерной геометрии. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии древности и средневековья.” “Нельзя
быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом”, – писал известный немецкий математик Карл Вейерштрасс. Анатолий Фоменко не только математик, но к тому же его знают как... художника, историка, знатока музыки.
“Я очень люблю музыку, потому что она сродни математике, говорил Анатолий Фоменко. – И та и другая предполагают некий идеальный мир, который подвластен только его создателю. Язык этого мира условен: в – музыке - ноты, в – математике – формулы. Есть много общего и между образами музыкальными и математическими. И те и другие возникают где-то на стыке мысли, чувства, интуиции. Может, поэтому, чем лучше понимаешь музыку, тем увереннее чувствуешь себя в кругу математических понятий”, – писал Анатолий Фоменко.
Однажды я попала на выставку работ Фоменко. Меня поразили его картины. Через один из журналов мы с коллегами обратились к Анатолию Тимофеевичу с просьбой демонстрации репродукций его картин в нашем техникуме. Он любезно откликнулся на нашу просьбу и при личной встрече передал репродукции своих картин формата А2 преподавателю Шипову А.Е. во временное пользование. Наши студенты, после проведенных бесед и осмотра произведений искусства (данными репродукциями были увешаны стены двух аудиторий) вдохновились и пробовали рисовать картины с математическим содержанием. Мы благодарны Анатолию Тимофеевичу за этот бескорыстный поступок, который дал возможность понять сложные математические идеи посредством художественных графических образов, представленных на картинах.
В журнале “ “Техника молодежи” за 1985г. он пишет статью “Бесконечность в математике...”: “Логический аспект понятия “бесконечность” – безусловно, важный, но далеко не единственный. Возможно, настало время, опираясь на опыт современной математики и ее приложений, прейти от небольшого эскиза о бесконечности к созданию развернутого полотна, в котором отразились бы основные представления и мысли, что волнует физиков и математиков на протяжении многих десятилетий и даже столетий в связи с этим глубоким натурфилософским и математическим понятием.
Каждая область современной математики (геометрия, алгебра и т. д.) обладает своим “рисунком бесконечности”, связывает с этой идеей свой набор психологических образов и эмоций. Естественно, что нагляднее всего эти образы в геометрии. Геометрическая бесконечность наиболее доступна демонстрации и в то же время чрезвычайно сложна, поскольку часто вступает в конфликт с нашей геометрической интуицией. Дело в том, что физиологические механизмы восприятия, вероятно, не в состоянии адекватно реагировать на абстрактное интеллектуальное задание “представить геометрическую бесконечность”, и наш мозг вынужден подменять “подлинную бесконечность” интуитивно более понятным и грубым геометрическим объектом, иногда совершая при этом незаметную ошибку, подстановку.
Современная геометрия знает много примеров, в которых так или иначе присутствует бесконечная процедура (актуальная бесконечность), разрушающая в итоге наши привычные представления, сложившиеся на основе повседневного, “конечного” опыта. Этим обстоятельством удачно воспользовался при создании своих замечательных графических работ известный французский художник М.К. Эшер, гравюры которого неоднократно публиковались в нашей научно-популярной прессе”. В 2003г. У нас в Эрмитаже была выставка работ этого интересного художника. “ С одной стороны, он изображал “бесконечно сложные объекты”, а с другой – “невозможные объекты” (вечные двигатели и проч.), умело, эксплуатируя несовершенство и ограниченность нашей геометрической интуиции. При этом он опирался на математические конструкции, применяемые в современной алгебре, геометрии, кристаллографии и т. п. Именно глубоким проникновением в природу геометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя”, – писал Анатолий Фоменко.
Вариациями на тему “Бесконечность” мы можем считать и статью журналиста Вячеслава Жвирблиса из журнала “Техника молодежи”, который называется “Рассказ о бесконечности, сочиненный ночью на берегу теплого моря”. Приведу некоторые отрывки из этой статьи: “Бездонный ночной небосвод и неумолчный шум прибоя обычно помимо воли заставляют задуматься о бесконечности. Бесконечности пространства и бесконечности времени.
Бесконечность, впрочем, не столько привлекает, сколько пугает. Право, мороз пробегает по коже, когда испытываешь ее представление наглядно. Хотя математики такие же люди, как и все, они давно храбро бродят по необозримым просторам бесконечности. Как им это удается? Что нужно, скажем, для того, чтобы абсолютно точно записать число е, обозначающее основание натуральных логарифмов?
На этот вопрос может быть два ответа.
Ответ первый: Бесконечно большой лист бумаги и бесконечно большое время, ибо сколь мелко и быстро мы бы не писали цифры, заполнять ими бесконечно большую поверхность бесконечным рядом числа е = 2,71828... придется бесконечно долго. В этом случае говорят о потенциальной бесконечности, то есть бесконечности, которая существует только потенциально, так сказать, в принципе, но реально никогда не может завершиться.
Ответ второй: любой клочок бумаги и несколько
секунд, за которые можно набросать формулу,
позволяющую вычислить число е, с любой
наперед заданной точностью. Для этого в формулу 
— нужно
лишь по очереди подставлять возрастающие до
бесконечности числа натурального ряда. Такую
операцию принято обозначать сочетанием символов
п –> 
; в этом случае бесконечность
называют актуальной как бы раз и навсегда
реально завершенной, реально существующей, хотя
и не равной ничему определенному.
Хитрость последнего приема заключается в том, что вся бесконечность упрятывается в короткое сочетание символов, в котором время участвует в замаскированном виде: ведь п надо все время увеличивать!
Само слово “бесконечность” говорит, казалось бы, о том, что это нечто, не имеющее ни начала, ни конца. Бесконечная линия, бесконечная плоскость, бесконечное пространство... Это – наглядный образ потенциальной бесконечности. А может ли считаться бесконечным конечный отрезок? Скажем, длиной в один сантиметр?
С точки зрения чистой математики, актуально бесконечно большим может считаться и отрезок длиной в один сантиметр, и отрезок, равный диаметру атома водорода или электрона. И вообще любой, сколь угодно малый, но конечный отрезок – все дело лишь в том, чем его измерять. Ведь если единица измерения бесконечно мала (вернее, стремится к нулю), то бесконечно велик (точнее, стремится к бесконечности) и размер любого измеренного с ее помощью отрезка.
Другими словами, бесконечно большая величина вовсе не обязана быть невообразимо большой. Она может иметь любые конечные (и даже крайне малые с нашей точки зрения) размеры, если для ее измерения используется величина бесконечно малая, то есть непрерывно уменьшающаяся во времени; но та же конечная величина может считаться и бесконечно малой, если она измеряется с помощью бесконечно возрастающей во времени величины.
То есть, по сути, у реальной физической бесконечности должны быть две неразрывно связанные друг с другом области – область бесконечно больших и область бесконечно малых, – и поэтому ее невозможно подразделять на потенциальную и актуальную. Такая бесконечность должна просто существовать”.
Вариацией на эту тему являются и стихи английского поэта Уильямса Блэйка:
“В одном мгновенье видеть Вечность,
Огромный мир – в зерне песка
В едином миге – бесконечность
И небо – в чашечке цветка”.
И стихотворение Валерия Брюсова “Мир электрона”.
“Быть может, эти электроны -
Миры, где пять материков,
Искусства, званья, войны, троны
И память сорока веков!
Еще, быть может, каждый атом -
Вселенная, где сто планет:
Там, все, что здесь,
В объеме сжатом
Но также то, чего здесь нет.
Их бесконечность, как и здесь,
Там скорбь и страсть,
Как здесь, и даже
Там та же мировая спесь”.
Б. Паскаль писал о бесконечности: “Я вижу со всех сторон только бесконечности, которые заключают меня в себе как атом; я как тень, которая продолжается только момент и никогда не возвращается. (И книги А. Ф. Лосева “Эстетика возрождения”, М., “Мысль”, 1982г. стр. 549).
Вариациями на тему бесконечность являются отрывки стихотворений таких поэтов и ученых, как римского поэта и философа Тит Лукреция Кара.
“Нет краев у нее, и нет ни конца, ни предела,
И безразлично, в какой ты находишься части Вселенной.
Где бы ты не был, везде, с того места, что ты занимаешь,
Все бесконечной она остается во всех направленьях”.
Низами – среднеазиатский поэт вопрошал:
“Разве в мире бесконечном направленье есть?
Разве далям бесконечным измеренье есть?”
Джордано Бруно писал:
“Кристальной сферы мнимую природу,
Поднявшись ввысь, я смело разбиваю
И в бесконечность мчусь, в другие дали.
Кому на горе, а кому в отраду, -
Я Млечный путь внизу вам оставляю...”
Немецкий поэт 18в. Альберт фон Галлер утверждал:
“Нагромождаю чисел тьму,
Мильоны складываю в гору,
Ссыпаю в кучу времена,
Миров бесчисленных просторы.
Когда ж с безумной высоты
Я на тебя взгляну, то ты -
Превыше не в пример
Всех чисел и всех мер:
Они лишь часть тебя”.
И, наконец, М. В. Ломоносов восклицал:
“Открылась бездна, звезд полна,
Звездам числа нет, бездне – дна”.
И здесь уместно вставить слова Максимилиана Волошина:
“Когда уйду я в бесконечность,
То мне откроется она,
Так ослепительно ясна,
Так беспощадна, так сурова,
И звездным ужасом полна”.
Иллюстрациями этого понятия могут служить и некоторые замечательные графические работы известного голландского “математического графика”, художника М. К. Эшера (об этом уже начинали говорить выше). В этих работах Эшер, умело опираясь на математические конструкции,применяемые в алгебре и геометрии, подчеркивает несовершенство и ограниченность нашей геометрической интуиции.
Именно глубоким проникновением в природу геометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя “математических работ” Эшера.
На полотне можно изобразить лишь иллюзию бесконечности, но не саму бесконечность. Рассмотрим гравюры Эшера.
Гравюра “Все меньше и меньше” представляет собой первую попытку изображения бесконечности. При приближении к центру окружности фигурки, заполняющие плоскость, уменьшаются, каждая последующая фигурка занимает площадь вдвое меньшую, чем предыдущая: в центре площадь их становится бесконечно малой, а количество бесконечно большой величиной. Такая конструкция является фрагментарной, т. к. она позволяет расширение новыми все более увеличивающимися фигурами.
Избежать фрагментарности и представить бесконечность во всей ее полноте внутри четко очерченной границе позволяет лишь метод, обратный только что рассмотренному.
Это такие гравюры как “Круговой предел 1, 2, 3”
В круговом пределе 3 вдоль каждой цепочки сохранена однородная ориентация фигур, рыбки плывут вереницей по дугам от края до края гравюры и так, что чем ближе к центру, тем фигуры становятся больше. Каждая цепочка подобна траектории ракеты, которая взмывает с одной из точек окружности и исчезает на противоположной стороне. При этом ни одна из фигурок цепочки не достигает граненой линии, за пределами которой “абсолютное ничто”.
Но сферическая вселенная и не может существовать без охватывающей ее пустоты не только потому, что понятие “внутри” предполагает понятие “снаружи”, но и потому, что в этом “ничто” воображаемые, но геометрически точно определенные центры дуг, образующие структуру сферического мира.
Представим, что с нами разговаривает Эшер. Подслушаем его “Я часто слышу, что ученые говорят: “Наша вселенная безгранична”, и я не спорю, я просто беру карандаш и рисую... Я слышу она искривлена, но и это вообразить мне под силу... Вот с замкнутостью нашей вселенной, о которой прожужжали мне уши друзья-физики, мне пришлось потруднее, но и тут я справился, кое-что нарисовал (“Картинная галерея”)
Да немало я потрудился, чтобы представить замкнутость... но зато я теперь убедился, что глаз и рука могут создать и объяснить все на свете, даже бесконечность не пугает их...”
Работы Эшера можно демонстрировать, когда говорим о симметрии, о трехмерном пространстве, при изучении правильных многогранников и т.д. и т.п.
Об Эшере и его работах хочу сказать словами К. Маркса:
“Воображение — это великий дар, так много содействовавший развитию человечества”.
Воображение и точные расчеты, интуиция и чувство красоты помогли Праксителю и Иктину построить и Парфенон.
Парфенон кажется прямоугольным, но в нем не найдешь и двух линий, которые в действительности были бы параллельными, хотя они и кажутся нам таковыми. Его 72 колоны наклонены друг к другу, и если мысленно их продолжить, то все линии пересекутся в одной точке, на высоте около 8 км над землей.
В математике много романтики, но никогда не следует забывать о том, что изучение её – это не сплошной праздник, что любое научное творчество – это труд, труд, о котором часто без преувеличений можно сказать, что он каторжный. Гений – это прилежание, лишь один процент вдохновения и 99% потения.
Я хочу закончить свое выступление словами В. Брюсова:
“Когда вникаю я, как робкий ученик,
В твои спокойные, обдуманные строки,
Я знаю – ты со мной! Я вижу строгий лик,
Я чутко слушаю великие уроки”.
P.S. Материриал об Анатолии Тимофеевиче Фоменко можно найти на сайте http:|| Anatoly-fomenko.com
Материал для демонстрации картин М.К. Эшера можно найти в альбоме: М.К.Эшер, Графика TASCHEN\АРТ - Родник, 2001, где предисловие и аннотации написаны самим автором. Некоторые описания картин из этой книги даю в приложении.
