Цели урока:
- Образовательные:
- привести в систему знания учащихся по теме «Решение уравнений третьей и четвёртой степеней»;
- повторить теорию решения уравнений;
- выработать умение определять вид уравнения;
- выбирать наиболее рациональные способы решения данного уравнения.
- Развивающие:
- развитие аналитического мышления;
- развитие умения производить классификацию фактов;
- выработка желания глубины проникновения в предмет.
- Воспитательные:
- воспитание потребности в знаниях;
- воспитание культуры общения.
Методическая цель урока: реализация вариативной части учебного плана. Углубленное изучение математики.
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
Эпиграф к уроку:
Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Л.Н.Толстой.
Или
Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике. О.Лодж.
Ход урока
I. Мотивация учебной деятельности (постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока)
II. Актуализация опорных знаний
а) Повторение теории решения уравнений:
- что называется уравнением?
- что значит решить уравнение?
- что называется корнем уравнения?
- какие виды уравнений вы знаете?
- способы решения уравнений?
Для работы можно использовать таблицу «Классификация уравнений». (Приложение)
- Какие уравнения относятся к целым, дробным, иррациональным?
- А уравнения с модулем, параметром к каким уравнениям можно отнести?
б) Повторение методов решения уравнений.
Аналитический.
Приёмы:
1) простейшие(приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, приведение дробей к общему знаменателю, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, решение квадратных уравнений по формуле, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число).
Пример 1.
х(х-6)=х
Решение:
х(х-6)=х | : х≠0
х-6=1
х=7
Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.
Пример 2.
=-1
Решение:
(
)2=(-1)2
х+3=1
х=-2
Обосновать ошибку. Что произошло? Решить уравнение правильно.
2) разложение на множители (формулы сокращённого умножения, группировка, теорема Безу).
3) введение вспомогательной переменной (следует помнить об ОДЗ самого уравнения и ОДЗ новой переменной).
4) Нетрадиционные приёмы решения:
- функционально-графический;
- смешанный.
в) Устная работа по группам.
Задание: классифицировать уравнения по виду и по способу решения.
1. 
=
2. у2-5у+6=0
3. (х-2)2-2(х-2)-4=0
4. 
+1=6
5. 
=х
6. Указать количество корней уравнения 2+|х|=а
7. х3+3х2-4х=0
8. (х-1)2-х2=4-3х
III. Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений
а0 х4+а1х3+а2х2+а3 х+а4=0
а0 х3+а1х2+а2х+а3 =0
Исторический экскурс
Вы знаете, что алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. XVи XVI столетия вошли в историю Европы под названием «эпоха Возрождения». Для неё характерен расцвет науки и культуры. В Европе появились компас, часы, порох, дешёвая бумага, книгопечатание. Развивалась промышленность, требующая технических усовершенствований и изобретений, появляются стимулы для развития науки. Расцвет науки происходит главным образом в Италии, Франции, Германии. Итальянские математики XVI в. сделали крупное математическое открытие. Они нашли формулы для решения уравнений 3 и 4 степеней. Николо Тарталья (ребёнок из очень бедной семьи, мать не могла платить за образование, поэтому мальчик в школе узнал только половину азбуки, всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно). В 6 лет он получил удар мечом в гортань от французского воина и с тех пор говорил с трудом, отсюда и прозвище Тарталья (заика). Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.
Джироламо Кардано (медик) занимался астрологией, составлял гороскопы. Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». Ученик Кардано Луиджи Феррари нашёл формулы для решения уравнений 4 степени.
Решение уравнений
№ 1.
х3-9х+х2–9=0
Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом группировки.
(х3+х2)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0 
Ответ: -3; -1; 3.
№ 2. х3-6х2+11х-6=0
Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.
Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а)равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а)без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1).
х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0 
Ответ: 1, 2, 3.
№ 3. х4 +5х3+6х2+5х+1=0
(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны.)
Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.
Вопрос - почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?
х2+5х+6+
+
= 0
(х2 +
)+5(х+
) = 0
х+
=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)
х2 +
=(х+
)2-2 = у2-2
у2-2+5у+6=0
у1=-4; у2=-1
х+
=-4, х=-2 
х +
=-1, корней нет.
Ответ: -2 -
; -2+
.
№ 4. х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0
Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 (применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (на доске, показать через проектор) и в целях экономии времени не решать.
(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 
(см. предыдущий пример)
№ 5. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40
Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.
(х2+6х+5)(х2+6х+8)=40
ух2+6х
(у+5)(у+8)=40
у2+13у=0 
х2+6х=0 
х2+6х=-13, корней нет, т.к. D<0
Ответ: -6, 0.
IV. Домашнее задание
2х3+8х-х2-4=0
2х3-12х2+22х-12=0
6х4-35х3+62х2-35х+6=0
(х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15
V. Подведение итогов урока
Список литературы
1. М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы», Москва «ОНИКС 21 век », «Мир и Образование», 2002.
2. В. М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова «Сборник конкурсных задач поматематике для поступающих в ВУЗы», Москва «ОНИКС 21 век », «Мир и Образование», 2003.
3. А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский «Справочник по методам решения задач по математике», Москва «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1989.