На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе.
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов, и даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что "завтра ожидается дождь с вероятностью 40%".
И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятностно и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.
Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно статистическую линию в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как "Числа", "Функции", "Уравнения и неравенства", "Геометрические фигуры".
Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по новым учебным комплектам "Математика 5-6" под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина, "Математика 7-9" под редакцией Г. В. Дорофеева. Это первые российские учебники, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с другими темами курса. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. Накопленный опыт преподавания свидетельствует о безусловной доступности этого материала, очевидном интересе, который он вызывает у учащихся, позитивном влиянии на развитие мышления школьника.
Слиянием двух особых областей математики: теории вероятностей и математической статистики объединили в термин "стохастика". Обучение стохастике понимается не как рассмотрение готовый теории и выработку у учащихся техники расчетов, но как обучение математической деятельности, которая имеет такие составляющие, как: перевод внематиматической проблемы на язык математики; поиска, а по сути дела обнаружение, стохастических понятий и методов как инструментов решения поставленной проблемы; интерпретация полученного математического результата.
Предмет теории вероятностей. Понятие вероятности и его интерпретации.
Предметом теории вероятностей является построение и исследование математических моделей случайных явлений и процессов, наблюдаемых в статистических экспериментах. Теория вероятностей исследует только математические модели, а вопрос о применимости получаемых результатов к "действительному миру опыта" решается, как правило, за рамками теории вероятностей ( А. Н. Колмогоров).
Наиболее распространенными классами математических моделей, исследуемых теорией вероятностей, являются случайные события, случайные величины, системы случайных величин, случайные процессы.
Центральным, важнейшим понятием теории вероятностей является понятие вероятности. Все интерпретации понятия вероятности можно разделить на две основные группы: субъективистские и объективные. В первой группе выделяют три основные интерпретации:
- взгляд, согласно которому вероятность есть логическая категория, а вероятностные суждения говорят о неких логических отношениях между суждениями;
- взгляд, согласно которому вероятностные суждения характеризуют отношение суждения к неким взглядам субъекта, а вероятность есть мера доверия, которым мы наделяем суждение;
- взгляд, согласно которому вероятность может характеризовать отношение суждения к действительности, к которой оно относится, и составляет меру истинности суждения.
К группе объективных интерпретаций относятся те согласно те, согласно которым вероятностные суждения непосредственно касаются объективной действительности. В этой группе выделяют две основные интерпретации: статистически-частотную и диспозиционную.
Согласно статистически-частотной интерпретации вероятность характеризует относительную частоту появления события в определенной совокупности событий, соответствующих неким относительно устойчивым или повторяющимся условиям. Согласно диспозиционной интерпретации вероятность не является свойством класса или серии событий, а определяет диспозиционные свойства некоторой опытной ситуации, то есть комплекса условий, в которых мы наблюдаем появление событий.
Наряду с перечисленными существуют и промежуточные точки зрения, согласно которым некоторые вероятностные суждения должны быть интерпретированы в рамках концепции вероятности как характеристики суждений, а другие - в рамках концепции вероятности как характеристики объективных свойств или отношений объектов природы.
Создатель аксиоматической теории вероятностей А. Н. Колмогоров писал: "вероятность математическая - это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях". Термин "вероятность" он сопроводил определением "математическая". А. Н. Колмогоров придерживался явно объективной интерпретации понятия вероятности - статистически-частотной, возможно с элементами диспозиционной.
Предметом изучения теории вероятностей должна быть именно вероятность математическая как объективная мера появления случайных событий.
Субъективная вероятность характеризует отношение конкретного индивида к конкретной ситуации и сильно зависит от знаний индивида, от его осведомленности. Возможность выпадения шестерки при бросании игрального кубика по-разному оценивается игроками, один из которых знает, что центр тяжести кубика сильно смещен. Теория вероятностей изучает не мнения отдельных людей, а свойства математических моделей, которые отражают основные объективные свойства реальных объектов и явлений.
Следует всегда помнить следующие слова А. Н. Колмогорова: "Наше представление: было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений: Что касается результатов отдельных испытаний, то знание вероятности появления некоторого события позволяет предсказать его появление в очередном испытании, но опять же только с некоторой вероятностью!
Статистический эксперимент, его исходы и события.
Эксперимент заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов. Эксперимент называют статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз. Например, подбрасывая монету, мы отмечаем, какой стороной она упала.
Исходом эксперимента называют значение наблюдаемого признака, непосредственно полученное по окончании эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.
Событием, наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством.
О классическом, статистическом и геометрическом определениях вероятности.
События бывают детерминированные, определенные, которые обязательно происходят при каждом проведении опыта ( Солнце всходит в определенное время, тело падает вниз, вода закипает при нагревании и т.д.). Наряду с детерминированными есть события, которые в определенных условиях происходят, но не при каждом проведении опыта: одни происходят чаще, другие реже. Такие события называют случайными, если опыты, в которых эти события могут появляться, можно повторять многократно в практически неизменных условиях.
Основным свойством случайного события является степень возможности его появления; именно от нее зависит, насколько часто событие будет появляться при повторении испытаний. Численной мерой этого свойства и является вероятность. Если вероятность больше, то больше и возможность появления события, и оно появляется чаще (например, при бросании двух монет "орел" и"решка" появляются чаще, чем два "орла" или две "решки"). Чем меньше вероятность, тем реже появляется событие (например, вероятность отказа двигателя самолета очень мала, и такие отказы происходят достаточно редко).
Из курса геометрии мы знаем, как измерить длину, площадь или объем, как найти их численные значения. Теория вероятностей дает нам способы "измерения", нахождения численного значения вероятностей появления различных событий.
Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна Р(А)=m/n, где m - количество исходов, при которых событие А появляется. Это классическое определение вероятности, но "определение" не в смысле раскрытия самого понятия, а в смысле нахождения численного значения вероятности в тех случаях, когда n конечно и все исходы равновозможны. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то применить формулу классической вероятности нельзя, результат будет неправильным.
Если количество возможных исходов опыта бесконечно велико, а все исходы по-прежнему равновозможны,то численное значение вероятности можно найти по формуле геометрической вероятности: Р(А)=lА/l, или Р(А)=SA/S, или Р(А)=VA/V - в зависимости то того, где лежат точки, соответствующие исходам эксперимента - на линии, на плоскости или в трехмерном пространстве.
Статистическое определение вероятности обеспечивает нам принципиальную возможность оценки вероятности любого события и во всех случаях, когда возможно проведение реальных экспериментов и изучение изменения относительной частоты m/n по их результатам. Но любая серия реальных экспериментов может дать только приблизительную оценку значения вероятности, а сам статистический подход также связан с серьезными теоретическими проблемами.
Теория вероятностей не занимается оценкой вероятностей реальных событий. Теория вероятностей строит математические модели, которые, а зависимости от конкретных значений их параметров позволяют вычислять вероятности сложных событий. Результаты будут настолько "хороши", насколько "хороши" были исходные данные и насколько точно модель описывает реальный объект.
Применение вероятностных расчетов на практике осуществляется в тесном взаимодействии теории вероятностей и математической статистики.
Типы случайных событий и действия над ними.
Теоремы о вероятностях.
Достоверное событие - это событие, которое происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Это значит, что каждый исход эксперимента обладает тем свойством, которым определено событие, являющиеся достоверным, что достоверному событию соответствует все множество исходов данного эксперимента. Например, при бросании игрального кубика событие D - "при бросании кубика выпало не более шести очков" - является достоверным, т. к. каждый исход эксперимента (1,2,3,4,5,6) обладает указанным свойством ( выпавшее число очков не больше 6).
Невозможное событие - это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Это значит, что среди всех исходов эксперимента нет ни одного исхода, обладающего тем свойством, которым определено событие, являющееся невозможным, что невозможному событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента. Например, при бросании монеты событие N - "при бросании монеты выпали орел и решка" - является возможным, т. к. нет исходов, при которых появляются орел и решка одновременно.
Противоположное событие ( по отношению к рассматриваемому событию А) - это событие А1, которое не происходит, если А происходит, и наоборот. Это значит, что событию А1 соответствуют те исходы эксперимента, которые не соответствуют событию А, причем объединение (сумма) исходов, соответствующих событиям А иА1, всегда равно полному множеству всех исходов данного эксперимента. Например, событие А - "выпало четное число очков" и А1 - "выпало нечетное число очков" при бросании игрального кубика - противоположные, а события А - "выпало четное число очков" и В - "выпало 1 или 3 очка" - не противоположные, т. к. объединение их исходов (2,4,6, и 1,3) не дает полного множества всех исходов эксперимента (1,2,3,4,5,6).
Два события А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (т. е. в соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых (общих) исходов).
Суммой двух случайных событий А и В называют новое случайное событие А+В, которое происходит, если происходят либо А, либо В, либо А и В одновременно. Событию А+В соответствует объединение (сумма) множеств исходов, соответствующих событиям А и В.
Произведением двух случайных событий А и В называется новое случайное событие А·В, которое происходит только тогда, когда происходят события А и В одновременно. Событию А·В соответствует пересечение множеств исходов, соответствующих событиям А и В.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместных случайных событий А и В равна сумме их вероятностей:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Если А и В совместны, то
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В).
Теорема умножения. Вероятность произведения двух независимых случайных событий А и В равна произведению их вероятностей:
Р(А·В)=Р(А) · Р(В).
Если А и В зависимы, то
Р(А·В)=Р(А) · Р(В/А)=Р(В) · Р(А/В),
Где Р(А/В), Р(В/А) - условные вероятности одного события относительно второго.
Случайные величины и их распределения.
Случайная величина - это математическая модель теории вероятностей, имеющая большое значение и широчайшее применение.
Под случайной величиной Х понимают однозначную действительную функцию, определенную на множестве всех возможных исходов эксперимента: Х=Х(?), ? принадлежит ?.
Каждому исходу ? соответствует единственное значение случайной величины Х(?), однако разным исходам ?1 и ?2 могут соответствовать одинаковые значения случайной величины. Например, эксперимент с бросанием двух монет имеет 4 исхода:
р-р, р-о, о-р, о-о (о - орел, р - решка).
Определим случайную величину Х(?) как количество выпавших орлов; тогда Х(?) будет иметь три возможных значения: 0, 1 и 2, причем значение 1 соответствует двум исходам: о-р и р-о.
В очень многих случаях при работе со случайными величинами достаточно знать лишь вероятности всех возможных значений случайной величины (если оно дискретна), т. е. иметь ряд распределения случайной величины:
| хj | x1 | x2 | : | xm |
| pj | p1 | p2 | : | pm |
p1+ p2+:+ pm=1,
где pj=Р(Х= хj) - вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина Х примет значение хj.
Приведенная таблица очень похожа на знакомую нам таблицу статистического распределения ряда, однако между ними существует принципиальная разница; pj - это вероятности появления значений хj; эти вероятности считаются известными, данными, поэтому являются постоянными величинами. Статистические частоты nj - это функции результатов наблюдений, они случайным образом изменяются при проведении каждой серии испытаний.
Задачи и упражнения.
1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.
Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.
Решение:
Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся родились 30 января - случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все зависит от состава группы из 25 учащихся).
Второе событие - невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день
Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.
2. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное;
- из мешка вынули 4 шара, и все они синие;
- из мешка вынули 4 шара, и все они красные;
- из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
- из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.
Решение:
- Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара; четыре вынуть нельзя.
- Событие случайное, может произойти, может и не произойти.
- Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов.
- Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.
Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.
3. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.
- Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (событие В).
- "Родила царица в ночь, не то сына (событие А0, не то дочь (событие В):".
- Случайно выбранная цифра меньше 5 (событие А0, больше 6 (событие В).
- Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз (событие А), не больше 6 раз (событие В).
Решение:
- Учитель вызвал к доске ученика или ученицу (А?В).
- Царица родила сына или дочь (А?В).
- Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 (А?В, то есть это одна из цифр 0,1,2,3,4,7,8,9).
- Из десяти выстрелов в цель попали не более 7 раз (А?В, то есть число попаданий 0,1,2,3,4,5,6 или 7 раз).
Ответ: 4 сложных события, являющиеся суммой двух несовместных событий.
4. Событие В - в результате стрельбы по мишени хотя бы одна пуля н попала в цель. Что означает событие В1?
Решение:
Событие В1 можно описать так: "в результате стрельбы по мишени ни одна пуля не попала в цель". Оно означает, что все пули попали мимо цели.
Ответ: противоположное событие.
5. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.
- Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.
- Явка на выборы была от 40% до 47%.
- Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.
- На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.
Решение:
- Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.
- Явка на выборы была менее 40% или более 47%.
- Из пяти выстрелов в цель попали менее двух.
- На контрольной я решил максимум две задачи из пяти.
Ответ: 4 противоположных события.
Список используемой литературы.
- Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. Автор-составитель В. Н. Студенецкая. Волгоград. 2006 год. Издательство "Учитель".
- Элементы статистики и вероятность. Авторы: М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. Москва. 2004 год. Издательство "Просвещение".
- Вероятность и статистика. Е. А. Бунимович, В. А. Булычев.
- "Математика в школе" - журнал №2, 1997 год.