Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе по теме "Решение показательных уравнений"

Даниленко Лариса Андреевна, учитель математики

Разделы: Математика

Алгебра – главный хайямов трактат.
Теперь уравнения люди решат.

Омар Хайям.

Тема урока: Решение показательных уравнений.

Цели урока:

систематизировать знания и умения учащихся по теме «Показательная функция и ее свойства» и «Решение показательных уравнений»;
рассмотреть основными алгоритмическими приемами решения показательных уравнений как базового уровня так и уровня повышенной сложности.

Оборудование к уроку: индивидуальные карточки, тестовые задания для работы учащихся с компьютером.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщение темы урока

II. Повторение

Повторить тему «Показательная функция, ее свойства и график»

1. Какую функцию называют показательной?

Определение. Показательная функция – это функция вида у = aх где а – заданное число, а > 0, а =/= 1

2. Перечислить свойства показательной функции

а) область определения – М множество всех действительных чисел;
б) множество значений – множество всех положительных чисел;
в) график проходит через точку (1; 0);
г) функция возрастающая при а > 1; убывающая при 0 < a < 1.

3. Работа по индивидуальным карточкам устно

1. График какой функции изображен на графике?

2. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = 3х + 1. Укажите номер этого рисунка.

3. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = – 1

Укажите номер этого рисунка.

4. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = 2х – 2. Укажите номер этого рисунка.

5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции у = () – х – 1?

1) 1 2) 0 3) –1 4) 2

6. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции у = 7 – ?

1) 6 2) 7 3) 8 4)9
7. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции у = – ?

1) (–1;) 2) (–; 0) 3) (0;) 4) (–; 1)

8. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции у = 2х + 7?

III. Повторить тему «Решение различных видов показательных уравнений»

При решении показательных уравнений пользуются свойствами показательной функции.

1. Если а > 0, а =/= 1, то равенство ах₁ = ах₂ выполняется тогда и только тогда, когда х₁ = х₂.

Вопрос. Какие уравнения называются простейшими?

Простейшими показательными уравнениями – это уравнение вида ах = в.
При в > 0 уравнение имеет единственное решение х = logab.
При в < 0 уравнение не имеет решения.

Вопрос. Как решить уравнение, если в = 1?

При в = 1 уравнение можно решить используя свойства показательной функции.

Пример. 2х² – 5х + 6 = 1. х² – 5х + 6 = 0, х = 2, х = 3.

Ответ: 2; 3.

Вопрос. Как решить уравнение, если в = ах?

При в = ах аналогично.

Пример 1. Найти наибольший корень уравнения 5х = .

Так как = 5, то х2 –х = или 7х2 – 5х – 2 = 0. х = 1, х = –.

Ответ: 1.

2. Решить уравнение 3 ^. 2^{x + 1} + 5 ^. 2х – 2х + 2 = 21.

Пусть у = 2х, у > 0. Тогда уравнение примет вид 6у + 5у – 4у = 21, 7у = 21, у = 3. 2х = 3, х = log23.

Ответ: log23.

Пример 2. 32 – х = 3х – 8.
Пусть у = 3х, у > 0. Получим уравнение = у – 8 или у² – 8у – 9 = 0; у = – 1, у = 9. Поскольку у > 0, то 9 = 3х; х = 2.

Ответ: 2.

3. Метод уравнивания показателей

Пример. Решить уравнение 212х – 1 – 46х – 1 + 84х – 1 – 163х – 1 = 1280. Приведя уравнение к основанию 2, получим 212х – 1 – 212х – 2 + 212х – 3 – 212х – 4 = 1280. При вынесении общего множителя из левой части уравнения имеем 212х – 4 (8 – 4 + 2 – 1) = 1280, 212х – 4 = 256, отсюда 12х – 4 = 8, 12х = 12, х = 1.

Ответ: 1.

4. Метод введения новой переменной

Уравнения с помощью подстановки ах = у обращается в обычное квадратное уравнение.

Пример. Решить уравнение 52х – 3 – 2.5х – 2 = 3. Пусть 5х – 2 = у, у > 0, тогда 52х – 4 = у². Уравнение примет вид: 5у² – 2у – 3 = 0, у₁ = – у₂ = 1. Так как у > 0, то 5х – 2 = 1, х – 2 = 0, х = 2.

Ответ: 2.

5. Уравнения с помощью подстановки ах = у обращается в обыкновенное квадратное уравнение.

Вопрос. Как решить уравнение вида Аа²х + Вах + С = 0?

Пример. Решить уравнение: 52х – 3 – 2 · 5х – 2 = 3.
Введем обозначение 5х – 2 = у, у > 0, тогда 52х – 4 = у², откуда 52х – 3 = 5 у². После чего уравнение примет вид: 5у² – 2 у – 3 = 0, у₁ = – ; у₂ = 1.
Вернемся к первоначальной переменной 5х – 2 = 1, х – 2 = 0, х = 2, а 5х – 2 = – не имеет решения.

Ответ: 2.

Вопрос. Как решить уравнение вида Аа²х + Вахвх + Св²х = 0?

Пример 1. Найти произведение корней уравнения 3 · 16х + 2 · 81х = 5 · 36х; 3 · 42х + 2 · 92х = 5 · 4х · 9х;
Так как 9х0 получим 3 · + 2 = 5 · ,
Полагая у = приходим к уравнению 3 у² – 5 у + 2 = 0.
у = 1, у = .
=; 2х = 1; х =; = 1, х = 0.

Ответ. 0.

6. Функционально-графический метод

Пример 2. Решить уравнение: 6х – 2х = 32. Не трудно заметить, что уравнению удовлетворяет значение х = 2.
Докажем, что других корней у этого уравнения нет. Перепишем уравнение так: 3х – 1 = . Правая часть является убывающей функцией, левая – возрастающей. Следовательно, х = 2 единственный корень этого уравнения.

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение: хх² – 5х + 6 = х².
Рассматриваем только х > 0. Так как при х = 0 функция, стоящая в левой части, определена и равна нулю и правая часть равна нулю, 0 является корнем уравнения. При х > 0 данное уравнение равносильно уравнению (х² – 5х + 6)lgx = 2lgx, откуда либо lgx = 0, то есть х = 1, либо х² – 5х + 6 = 0, то есть х = 2, х = 3.